Autor Tema: Sistema de ecuaciones trigonométrico, ¿cómo puedo resolverlo?

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14 Junio, 2014, 06:08 pm
Respuesta #20

ingmarov

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terky, tambien sin trabajar mucho se puede utilizar

\( \displaystyle 70=\frac{3}{\cos B_1}- \frac{50}{\sin (B_1)} \)

entonces graficas

\( y_1=70 \)

y

\( y_2=\frac{3}{\cos B_1}- \frac{50}{\sin (B_1)} \)

y encuentras sus interceptos (donde se cruzan).

EDITADO

He cometido un error al igualar \( \cos(B_1-90^0) \textsf{ con} -\sen(B_1) \)

Esto debe ser \( \cos(B_1-90)=\sen(B_1) \)

Y por tanto la ecuación correcta debe ser:

\( 70=\displaystyle\frac{3}{\cos B_1} + \frac{50}{\sen B_1} \)

Como tu lo habías escrito.

Esta es la que puedes usar en la calculadora. Yo lo lamento. Intentaré simplificarla y luego escribo mi resultado.

SIMPLIFICACIÓN

Multiplicando ambos lados por \( \cos{B_1}\sen{B_1} \)

Nos queda

\( 70\cos{B_1}\sen{B_1}=\displaystyle 3\sen{B_1}+50\cos{B_1} \)

Ahora considerando el triangulo siguiente:



Podemos escribir y aplicando identidad en el lado izquierdo

\( 35\sen{2\cdot B_1}=\displaystyle \sqrt{50^2+3^2}(\cos{\theta}\sen{B_1}+\sen{\theta}\cos{B_1}) \)

Aplicando identidad a la derecha

\( 35\sen{2\cdot B_1}=\displaystyle \sqrt{50^2+3^2}(sen(B_1+\theta)) \)

Dos Soluciones

\( B_1\approx{0.8689}rad=49.784^0 \)

y

\( B_1\approx{1.4165}rad=81.159^0 \)

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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15 Junio, 2014, 06:11 am
Respuesta #21

Juan Pablo Sancho

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Un intento:
\(  { \red Editado }  \) El spoiler está mal.
Spoiler
\(  70 = \dfrac{3}{cos(B_1)} + \dfrac{50}{cos(B_2)}  \)




\(  \dfrac{3}{cos(B_1)} + \dfrac{50}{cos(B_2)} = \dfrac{3}{2\cdot cos^2(\dfrac{B_1}{2}) - 1} + \dfrac{50}{2\cdot cos^2(\dfrac{B_2}{2}) - 1} =  \)

\(  = \dfrac{3}{1- 2 \cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2})} + \dfrac{50}{2\cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2}) - 1} =  \)

\(  = \dfrac{-3}{2 \cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2}) - 1} + \dfrac{50}{2\cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2}) - 1} =  \)

\(  = \dfrac{47}{2 \cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2}) - 1}  \)

Entonces:


\(  \dfrac{47}{2 \cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2}) - 1} = 70  \)

\(  \dfrac{47}{70} = 2\cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2}) - 1  \).

\(  \dfrac{117}{70} = 2\cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2})  \)

\(  \pm \sqrt{\dfrac{117}{140}} = sen(\dfrac{B_1}{2})  \)
[cerrar]

\(  cos(\dfrac{B_2}{2}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot (cos(\dfrac{B_1}{2}) + sen(\dfrac{B_1}{2}))  \).

15 Junio, 2014, 07:26 am
Respuesta #22

ingmarov

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...
\(  \dfrac{3}{cos(B_1)} + \dfrac{50}{cos(B_2)} = \dfrac{3}{2\cdot cos^2(\dfrac{B_1}{2}) - 1} + \dfrac{50}{2\cdot\color{red} cos^2(\dfrac{B_2}{2})\color{black} - 1} =  \)

\(  = \dfrac{3}{1- 2 \cdot sen^2(\dfrac{B_1}{2})} + \dfrac{50}{2\cdot\color{blue} sen^2(\dfrac{B_1}{2})\color{black} - 1} =  \)

¿Cómo pasaste de lo rojo a lo azul? ya que

\( \cos(B_2)=cos(B_1-90^0)=\sen(B_1) \)

pero

\( \cos(\dfrac{B_2}{2})=cos(\dfrac{B_1-90^0}{2})=cos(\dfrac{B_1}{2}-45^0)\neq{\sen(\dfrac{B_1}{2})} \)

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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15 Junio, 2014, 07:32 am
Respuesta #23

Juan Pablo Sancho

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Ingmarov mi último mensaje estába ya corregido además había puesto al final donde está el error.

\(  cos(\dfrac{B_2}{2}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot (cos(\dfrac{B_1}{2}) + sen(\dfrac{B_1}{2}))  \neq sen(\dfrac{B_1}{2})  \).

15 Junio, 2014, 07:35 am
Respuesta #24

ingmarov

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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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15 Junio, 2014, 08:32 am
Respuesta #25

Juan Pablo Sancho

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\(  \dfrac{3}{cos(B_1)} + \dfrac{50}{sen(B_1)} = 70  \).

\(  x = sen(B_1)  \).

\(  \dfrac{3}{\sqrt{1-x^2}} + \dfrac{50}{x} = 70  \).

\(  9 \cdot x^2 - (1-x^2) \cdot (70 \cdot x - 50 )^2 = 0  \).

Tenemos que:

\(  x_1 = 0.675069958569888,  \)
\(  x_2 = -.9996875325633144  \)
\(  x_3 =  .7652296890788028  \)
\(  x_4 =  .9879593134860519  \)


El tercer resultado es el que buscamos (viendo la solución).

15 Junio, 2014, 11:08 am
Respuesta #26

terky

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