Autor Tema: Ecuación diofántica

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14 Junio, 2014, 03:41 am
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maguas

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Encuentre todos  los pares  \( (x,y) \) de enteros positivos, tales que: \( y^2=x^3-152 \)
 
Agradezco desde ya, toda la ayuda que me puedan dar con este problema.
Bueno traté de usar módulos pero no llegué muy lejos, gracias a todos por sus sugerencias.

14 Junio, 2014, 04:04 am
Respuesta #1

ingmarov

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x debe ser un conjunto de números enteros positivos que al elevarlo al cubo sea mayor que 152, (6^3=216, x>6), pero que al restarle 152, a cada uno de estos valores, resulte un número cuya raiz cuadrada, "y", es una número entero. (Tiene raiz cuadrada exacta).

Y precisamente (6,8) es uno. Pero como encontrarlos todos?

EDITADO

Spoiler
Dos pares más
(17,69)

(26,132)

llegué hasta x=1005
[cerrar]
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

14 Junio, 2014, 04:34 pm
Respuesta #2

maguas

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Alguna demostración formal, de ¿que son las únicas?
Gracias de antemano por sus respuestas.

17 Junio, 2014, 12:15 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 ¿En qué contexto te ha surgido este problema?.

 La ecuación que planteas es un caso particular de la llamada ecuación de Mordell.

\(  y^2=x^3+k \)

 No se conoce un procedimiento para su solución general; pero si hay numerosas y variadas técnicas para analizar si tiene solución y hallar el conjunto de valores que la verifican. Dependiendo del valor de \( k \) se complican más o menos.

 En tu caso según aparece aquí:

http://hr.userweb.mwn.de/numb/mordell.html
 
 Las únicas soluciones son las que apunta ingmarov:

\(  (6,8),(17,69),(26,132) \)

 No estoy seguro de cuan fácil es probar que no hay otras. Aquí tienes algunos documentos donde se explcian diversas técnicas para intentarlo:

http://math.uga.edu/~pete/4400MordellEquation.pdf

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf

http://www.new1.dli.ernet.in/data1/upload/insa/INSA_2/20005a1e_13.pdf

Saludos.

17 Junio, 2014, 08:32 pm
Respuesta #4

maguas

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Gracias. el_manco por sus respuestas.
Bueno este problema   me surgió  del siguiente propuesto.

 Encuentre todos los primos p tales que: \( 2p^2+19 \), es un cubo perfecto.

 Lo que hice fué lo siguiente:  \( 2p^2+19=q^3 \)

que multiplicando por 8 nos da. \( (4p)^2 + 152 = (2q)^3  \)

\( y = 4p,\ x = 2q \)

\( y^2 = x^3 - 152  \)

Bueno es a lo que llegue, luego de darle muchas vueltas al problema.
Estaría muy agradecido si me pudieran dar otras formas de abordar este problema, gracias.

17 Junio, 2014, 09:46 pm
Respuesta #5

Abdulai

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Hace unos días se hizo una consulta similar en el grupo de noticias es.ciencia.matematicas


PD. No se si en estos casos se deben copypastear los mensajes (son solo 3) en lugar del link ya que puede haber mas comentarios.

18 Junio, 2014, 11:07 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Encuentre todos los primos p tales que: \( 2p^2+19 \), es un cubo perfecto.

Puedes razonar así:

\( 2p^2+19=k^3\quad \Leftrightarrow{}\quad 2p^2-8=k^3-27\quad \Leftrightarrow{}\quad 2(p-2)(p+2)=(k-3)(k^2+3k+9) \)

 Ahora si \( p\neq 2 \) es fácil ver que \( 2,(p-2),(p+2) \) son coprimos. Por tanto y dado que \( k-3<k^2+3k+9  \) necesariamente se da uno de los siguientes casos:

1) \( \color{red} k-3=1,\qquad k^2+3k+9=2(p-2)(p+2)\color{black} \)

2) \( \color{red} k-3=2,\qquad k^2+3k+9=(p-2)(p+2)\color{black} \)

3) \( \color{red} k-3=p-2,\qquad k^2+3k+9=2(p+2)\color{black} \)

4) \( \color{red} k-3=p+2,\qquad k^2+3k+9=2(p-2) \color{black} \)

Termina...

¡MAL! Puede haber más casos como apunta maguas en el siguiente mensaje.

Saludos.

CORREGIDO

19 Junio, 2014, 02:06 am
Respuesta #7

maguas

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Hola el_manco.
Tengo algunas dudas.¿por que se dan esos casos?
 ¿por qué no podría ser que?

\( k-3 \), y \(  p+2 \) tengan un factor  común.

Es decir  que:  \( p+2=x.y \) , con \( x \), como factor  comun a \( k-3 \), y \( p+2 \), pero que \(  y  \), no sea un factor de, \( k-3  \).


19 Junio, 2014, 10:18 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Tengo algunas dudas.¿por que se dan esos casos?
 ¿por qué no podría ser que?

\( k-3 \), y \(  p+2 \) tengan un factor  común.

Es decir  que:  \( p+2=x.y \) , con \( x \), como factor  comun a \( k-3 \), y \( p+2 \), pero que \(  y  \), no sea un factor de, \( k-3  \).

Tienes razón. Tengo que pensarlo mejor...

Saludos.

19 Junio, 2014, 11:52 am
Respuesta #9

teeteto

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No lo he pensado mucho, pero a partir de la idea inicial de el_manco podría quizás servir de ayuda que los factores comunes (mayores que 1) de \( k-3 \) y \( k^2+3k+9 \) pueden ser sólo 3 y 9
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)