Autor Tema: Cálculo de área comprendida por varias ecuaciones.

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15 Junio, 2014, 05:55 am
Respuesta #10

Francolino

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Yo lo que comprendo del problema es que, si \( k=0 \) el área es nula. Y si \( k=\frac {1}{2} \) es cuando toma su máximo valor.

Concuerdo con el dibujo de el_manco.

De esta forma, el área total del rectángulo estará dada en función de \( k \). El área en cuestión sería: el producto de la base por la altura, siendo la base \( k \) y la altura \( 1 \) (ya que está acotada por la recta horizontal).

El área del rectángulo es \( a_{r}=k \). A esta área habría que restarle la de la elipse, que calculó Pablo. Y todo esto hay que evaluarlo desde 0 hasta \( k \).

De esta forma, el resultado sería:
\( \displaystyle\int_{0}^{k} k - \sqrt {1-4x^2} dx \)

¿Les parece correcto?

15 Junio, 2014, 06:21 am
Respuesta #11

ingmarov

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francolino creo que lo único que hemos cuestionado de lo planteado por pablito son los limites de integración. El integrando que pablito ha escrito está correcto. ¿qué es lo que te confunde?
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

15 Junio, 2014, 08:42 am
Respuesta #12

Luis Fuentes

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Hola

el_manco, esto sería así solo si se hubiera puesto al eje "y" (x=0) como límite. Pero esto no se ha mencionado en el problema propuesto por francolino. Sin embargo tampoco nos dicen a que lado k está limitando el área. Si k sirve de límite derecho, que es de esperar, entonces pablito tiene los límite de integración correctos. Pero si k es el límite izquierdo, poco probable, entonces los límites serían:
\(  \color{red}\displaystyle \int_{k}^{\frac{1}{2}}\color{black} 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)

No. Fíjate que nos da un recinto limitado por tres curvas (dos rectas y una curva "propia"). Lo que resulta es un triángulo curvilíneo. Los vértices del mismo son las intersecciones dos a dos de las curvas.

¿Si extiendes el recinto a valores de \( x \) negativo, ¿por qué parar en\(  x=-1 \)? Ese límite no está indicado en ningún sitito.

Yo lo que comprendo del problema es que, si \( k=0 \) el área es nula. Y si \( k=\frac {1}{2} \) es cuando toma su máximo valor.

Concuerdo con el dibujo de el_manco.

De esta forma, el área total del rectángulo estará dada en función de \( k \). El área en cuestión sería: el producto de la base por la altura, siendo la base \( k \) y la altura \( 1 \) (ya que está acotada por la recta horizontal).

El área del rectángulo es \( a_{r}=k \). A esta área habría que restarle la de la elipse, que calculó Pablo. Y todo esto hay que evaluarlo desde 0 hasta \( k \).

De esta forma, el resultado sería:
\( \displaystyle\int_{0}^{k} k - \sqrt {1-4x^2} dx \)

¿Les parece correcto?

No está bien francolino. Creo que te he confundido.

Cuando me preguntaste si el \( 1 \) de está integral:

\(  \displaystyle \int_{0}^k\color{black} 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)

representaba el área total del cúal se restaba el de la eilpse te dije que si. Me refería a que la integral de esa constante representa el área del rectángulo del cuál restamos la de la elipse. Es decir:

\(  \displaystyle \int_{0}^k\color{black} 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx= \displaystyle \int_{0}^k\color{black} 1dx - \displaystyle \int_{0}^k\color{black} \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx=k-\displaystyle \int_{0}^k\color{black} \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)

Que es diferente a lo que tu escribiste.

Saludos.

15 Junio, 2014, 08:50 am
Respuesta #13

Francolino

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Mucha gracias. ¡Ahora sí entendí lo del misterioso uno del que hablaban!

Error mío el de poner \( k \) dentro de la integral, pensé que al ser una constante salía para afuera, pero veo que eso sólo sucede con el producto.

Ahora sí comprendí todo.  ;)

Saludos.

15 Junio, 2014, 09:01 am
Respuesta #14

Juan Pablo Sancho

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Fallo mio, yo suponía que se definía para el rango de la elipse que es menor que el de la recta \(  y=1 \), vamos para \(  x \in [\dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2}]  \).
Entonces comprendía la intersección, aceptando que \(  x \in [\dfrac{-1}{2} , k ]  \).
\(  {\red Editado }  \)
Lo que suponia.

Spoiler
La recta \(  y=1  \) se puede interpretar como \(  y(x)=1  \) para todo \(  x \in R  \), el dominio es \(  R  \).
La elipse si la pongo como función de \(  x  \) está defina en \(  [\dfrac{-1}{2}, \dfrac{1}{2} ]  \), la parte que me interesa.

Si hago la intersección de los dos dominios sale \(  [\dfrac{-1}{2}, \dfrac{1}{2} ]  \).

El tope está en la recta \(  x = k  \) entonces como dice ingmarov se debería tomar la integral en el dominio:
\(  [\dfrac{-1}{2} ,k ]  \) o en el dominio \(   [k, \dfrac{1}{2}]  \).
[cerrar]
Perdón Francolino si te ha supuesto algún problema, estaré más atento la próxima.

Saludos.

16 Junio, 2014, 05:43 am
Respuesta #15

Francolino

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Ningún problema; por el contrario, te agradezco por la ayuda.

Saludos.