Autor Tema: Cálculo de área comprendida por varias ecuaciones.

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13 Junio, 2014, 02:26 am
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Francolino

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Hola. Agradecería de su ayuda en el siguiente problema. Me piden que calcule el área comprendida entre: \( 4x^2 + y^2 = 1 \), \( y=1 \) y \( x=k \), donde \( k \in [0;0,5] \).

Debería de hacerlo con integrales, pero no tengo idea de cómo comenzar.

Saludos.

13 Junio, 2014, 02:36 am
Respuesta #1

ingmarov

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Comienza dibujando el Area. Así comprenderás mejor el problema.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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13 Junio, 2014, 02:45 am
Respuesta #2

Francolino

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La he dibujado, comprendo lo que se me pide. No sé trabajar con ecuaciones con más de una variable, me refiero a la integración de la elipse.

Saludos.

13 Junio, 2014, 02:57 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Tenemos la elipse \(  4\cdot x^2 + y^2 = 1  \)

\(  y= \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}  \), la parte superior de la elipse.



\(  1- 4 \cdot x^2 \geq 0  \)

\(  1 \geq 4 \cdot x^2  \)

\(  x \in [\dfrac{-1}{2} ,\dfrac{1}{2} ]  \).

Sí las cuentas no me salen mal :

\(  \int_{\frac{-1}{2}}^k 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \).





13 Junio, 2014, 12:23 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 Entiendo que el área es la que indico en el dibujo:



 Por tanto aquí hay una pequeña errata:

\(  \int_{\frac{-1}{2}}^k 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \).

Sería:

\(  \color{red}\displaystyle \int_{0}^k\color{black} 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \).

Saludos.

14 Junio, 2014, 08:12 am
Respuesta #5

Francolino

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Les agradezco a ambos por sus respuestas.

Una consulta, en la última integral que ha presentado el_manco: \(  \displaystyle \int_{0}^k\color{black} 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \). ¿El "1" representa el área total a la que se le está restando la de la elipse?

Saludos.

14 Junio, 2014, 09:28 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Una consulta, en la última integral que ha presentado el_manco: \(  \displaystyle \int_{0}^k\color{black} 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \). ¿El "1" representa el área total a la que se le está restando la de la elipse?

Si; representa el área del rectángulo limitado por los ejes, la recta \( x=k \) y superiormente la función constante \( 1 \), es decir, la recta \( y=1 \).

En cualquier caso en general el área limitada superiormente por la curva \( f(x) \) e inferiormente por \( g(x) \) se calcula integrando \( f(x)-g(x) \) en el intervalo que corresponda. En nuestro caso \( f(x)=1 \) es la recta y \( g(x)=\sqrt{1-4x^2} \) es la elipse.

Saludos.

14 Junio, 2014, 09:45 am
Respuesta #7

Francolino

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Muchas gracias por la respuesta.

¿No sería 1/2 en vez de 1, el área total?

¿No sería: \(  \displaystyle \int_{0}^k\color{black} \frac {1}{2} - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)?

Saludos.

14 Junio, 2014, 04:05 pm
Respuesta #8

ingmarov

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Muchas gracias por la respuesta.

¿No sería 1/2 en vez de 1, el área total?

¿No sería: \(  \displaystyle \int_{0}^k\color{black} \frac {1}{2} - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)?

Saludos.

Hola Francolino.

Creo que estás un poco confundido. Para empezar el 1 por el que preguntaste antes no es el área del rectángulo.
Te lo explicaré de forma general.
Cuando calculamos áreas como esta, piensa en que primero subdividimos horizontalmente esa área en muchos rectángulos cuya base es dx y la altura dependerá de las funciones que limiten superior he inferiormente esa área. Hace falta recordarlo por eso lo anoto \( Area_{Rectangulo}=Base\times Altura \). El Área de uno de esos pequeños rectángulos entonces será \( dA=(f(x)_{sup}-f(x)_{inf})dx \) si queremos hacer la suma de las areas de todos estos regtángulos contruidos desde \( x_0 \) hasta \( x_1 \) debemos integrar \( \displaystyle \int_{x_0}^{x_1}(f(x)_{sup}-f(x)_{inf})dx \)

En tu caso, primero veamos lo que se integrará. \( dA= \displaystyle 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)  (dA: diferencial de Area) Si te fijas esto no es más que el área de un rectángulo cuya base es dx y su altura es \( \displaystyle 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \) La diferencia de las funciones que la limitan superior e inferiormente.
Entonces lo que te escribió pablito esta correcto.
...
Sí las cuentas no me salen mal :

\(  \int_{\frac{-1}{2}}^k 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \).
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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14 Junio, 2014, 04:17 pm
Respuesta #9

ingmarov

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Hola

 Entiendo que el área es la que indico en el dibujo:



...

Sería:

\(  \color{red}\displaystyle \int_{0}^k\color{black} 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \).

Saludos.

el_manco, esto sería así solo si se hubiera puesto al eje "y" (x=0) como límite. Pero esto no se ha mencionado en el problema propuesto por francolino. Sin embargo tampoco nos dicen a que lado k está limitando el área. Si k sirve de límite derecho, que es de esperar, entonces pablito tiene los límite de integración correctos. Pero si k es el límite izquierdo, poco probable, entonces los límites serían:
\(  \color{red}\displaystyle \int_{k}^{\frac{1}{2}}\color{black} 1 - \sqrt{1 - 4 \cdot x^2}dx  \)
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