Autor Tema: Limite de logaritmo neperiano

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13 Junio, 2014, 12:18 am
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pablov

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Hola, tengo una duda con este ejercicio:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}}ln\left({\displaystyle\frac{x^2-4}{x^4+x^2+1}}\right)  \)

si aplico la propiedad que dice que si el grado del denominador es mayor que el del nominador es = 0
entonces queda así

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}}ln\left(0\right) \)

el resultado es \( {-}\infty \) estoy en lo correcto o se puede hacer otra manipulación?

13 Junio, 2014, 12:41 am
Respuesta #1

ingmarov

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Tu resultado está correcto.

Editado

La expresión racional la puedes modificar de la siguiente forma.

\( \displaystyle\frac{x^2-4}{x^4+x^2+1}=\frac{\cancel{x^2}(1-\frac{4}{x^2})}{\cancel{x^2}(x^2+1+\frac{1}{x^4})}=\frac{(1-\frac{4}{x^2})}{(x^2+1+\frac{1}{x^4})} \)

Si evaluamos \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}}\frac{(1-\frac{4}{x^2})}{(x^2+1+\frac{1}{x^4})} \)

El numerador tiende a 1 mientras el denominador tiende a \( +\infty \) y por tanto toda la expresión tiende a cero.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

13 Junio, 2014, 01:29 am
Respuesta #2

pablov

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Muchísimas gracias!

13 Junio, 2014, 01:35 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Otra forma:


\(  ln(\dfrac{x^2 -4}{x^4 + x^2 + 1}) = ln(x^2 - 4) - ln(x^4 + x^2 + 1) =  \).

\(  ln(x^2) + ln(1 - \dfrac{4}{x^2}) - ln(x^4)  - ln(1 + \dfrac{1}{x^2}  + \dfrac{1}{x^4}) =  \)

\(  -2\cdot ln (x) + ln(1 - \dfrac{4}{x^2}) -   ln(1 + \dfrac{1}{x^2}  + \dfrac{1}{x^4})   \)

Unas notas:

Sea \(  g(x) = \dfrac{x^2 -4}{x^4 + x^2 + 1}  \).


Tú estás calculando :

\(  lim_{x \to +\infty } ln(g(x))  \).

No estás calculando :

\(  ln(lim_{ x \to + \infty} g(x))  \) que en esta función no tiene sentido \(  ln(0)  \).

Saludos pablov.

13 Junio, 2014, 02:15 am
Respuesta #4

pablov

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Nuevamente gracias, me quedo muy claro.

Saludos pablito.