Autor Tema: No sé cómo estudiar el carácter de esta serie.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Junio, 2014, 12:40 pm
Respuesta #10

Fallen Angel

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 338
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Es cierto cuando convergen absolutamente.

Para la suma de los inversos de los cuadrados, puedes encontrar más información aquí:
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dyakubov/VC_II_2009/R_Granero_Belinchon_2009_El_Problema_de_Basilea.pdf

Hay más formas de probar su convergencia, pero la original de Euler es muy elegante (aunque tenga algún fleco en principio).

Un saludo
La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré

19 Junio, 2014, 10:57 pm
Respuesta #11

fjramirez

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 56
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola de nuevoo,

pues ahora tengo un problema con la siguiente serie:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{ \displaystyle\frac{2^n+3^n}{4^n} } \)

no se como estudiarla...  :'(

Alguna sugerencia?

19 Junio, 2014, 11:01 pm
Respuesta #12

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,068
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\(  \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} < \dfrac{3^n + 3^n}{4^n} = \dfrac{2\cdot 3^n}{4^n} = 2(\dfrac{3}{4})^n  \) por comparación convergente.



\(  {\red Editado }  \).

\(  \sum_{n=1}^m \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} < \sum_{n=1}^m \dfrac{2\cdot 3^n}{4^n} = 2\cdot \sum_{n=1}^m \dfrac{3^n}{4^n} <  \)

\(  < 2\cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{3^n}{4^n} = 2\cdot 3 = 6  \).

19 Junio, 2014, 11:02 pm
Respuesta #13

fjramirez

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 56
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\(  \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} < \dfrac{3^n + 3^n}{4^n} = \dfrac{2\cdot 3^n}{4^n} = 2(\dfrac{3}{4})^n  \) por comparación convergente.

Y como hago la suma??

19 Junio, 2014, 11:07 pm
Respuesta #14

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,068
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\(  \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} =  \sum_{i=1}^{+\infty} [\dfrac{2^n}{4^n}  + \dfrac{3^n}{4^n}] =  \)

\(  =  \sum_{i=1}^{+\infty} [(\dfrac{2}{4})^n  + (\dfrac{3}{4})^n]  \).

Sí \(   |p| < 1  \).

\(  \sum_{i=1}^{+\infty} p^i = \dfrac{p}{1-p}  \).

\(  {\red Editado }  \).

Sea \(  |p| < 1  \)
\(  p_n = p + p^2 + \cdots + p^{n-1} + p^n  \)
\(  p\cdot p_n = p^2 + p^3 + \cdots + p^n + p^{n+1}  \)

\(  p_n - p\cdot p_n = p-p^{n+1}  \)

\(  p_n \cdot (1-p)= p-p^{n+1}  \)

\(  p_n = \dfrac{p}{1-p} - \dfrac{p^{n+1}}{1-p}  \).

\(  lim_{n \to +\infty} p_n = \dfrac{p}{1-p} - \dfrac{ lim_{n \to +\infty} p^{n+1}}{1-p} = \dfrac{p}{1- p}  \).

20 Junio, 2014, 12:11 am
Respuesta #15

fjramirez

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 56
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\(  \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} =  \sum_{i=1}^{+\infty} [\dfrac{2^n}{4^n}  + \dfrac{3^n}{4^n}] =  \)

\(  =  \sum_{i=1}^{+\infty} [(\dfrac{2}{4})^n  + (\dfrac{3}{4})^n]  \).

Sí \(   |p| < 1  \).

\(  \sum_{i=1}^{+\infty} p^i = \dfrac{p}{1-p}  \).

\(  {\red Editado }  \).

Sea \(  |p| < 1  \)
\(  p_n = p + p^2 + \cdots + p^{n-1} + p^n  \)
\(  p\cdot p_n = p^2 + p^3 + \cdots + p^n + p^{n+1}  \)

\(  p_n - p\cdot p_n = p-p^{n+1}  \)

\(  p_n \cdot (1-p)= p-p^{n+1}  \)

\(  p_n = \dfrac{p}{1-p} - \dfrac{p^{n+1}}{1-p}  \).

\(  lim_{n \to +\infty} p_n = \dfrac{p}{1-p} - \dfrac{ lim_{n \to +\infty} p^{n+1}}{1-p} = \dfrac{p}{1- p}  \).


Sigo sin comprender la suma... No es una serie geométrica?

20 Junio, 2014, 12:24 am
Respuesta #16

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,055
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

20 Junio, 2014, 12:30 am
Respuesta #17

fjramirez

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 56
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\( \displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{2}{4})^n + (\displaystyle\frac{3}{4})^n}{(\displaystyle\frac{4}{4})^n} \)

\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{2}{4})^n} + \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{3}{4})^n} \)

\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{2}{4})^n}=\displaystyle\frac{2}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{16} \)

\( razon = \displaystyle\frac{1}{4}; s=\displaystyle\frac{a1}{1-r} \)

\( s= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{1-\displaystyle\frac{1}{4}} \)

y con el otro sumatorio igual, quedando la suma de los dos como la suma total de la serie. Es correcto??

20 Junio, 2014, 12:42 am
Respuesta #18

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,055
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\(  \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{2^n + 3^n}{4^n} =  \sum_{i=1}^{+\infty} [\dfrac{2^n}{4^n}  + \dfrac{3^n}{4^n}] =  \)

\(  =  \sum_{i=1}^{+\infty} [(\dfrac{2}{4})^n  + (\dfrac{3}{4})^n]  \).

Sí \(   |p| < 1  \).

\(  \sum_{i=1}^{+\infty} p^i = \dfrac{p}{1-p}  \).


\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{2}{4})^n}=\sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{1}{2})^n}=\dfrac{1/2}{1-1/2}=1 \)

Se hará lo mismo con \( \sum_{i=1}^\infty{(\displaystyle\frac{3}{4})^n} \)


 
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

20 Junio, 2014, 12:43 am
Respuesta #19

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,055
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

y con el otro sumatorio igual, quedando la suma de los dos como la suma total de la serie. Es correcto??

Es correcto.

EDITADO

Sigo sin comprender la suma... No es una serie geométrica?

Es una serie geométrica pero la primera potencia tiene grado 1.

\( \sum_{i=1}^{+\infty} p^i =p+p^2+...= \dfrac{p}{1-p} \)

Observa si utilizas la serie geometrica que comienza con una potencia de grado cero.

\( \sum_{i=0}^{+\infty} p^i =1+p+p^2+...= \dfrac{1}{1-p} \)  Ese primer termino es donde está la diferencia.

Si a la última suma le restamos 1, nos resulta

\( \dfrac{1}{1-p}-1=\dfrac{1-(1-p)}{1-p}=\dfrac{p}{1-p} \)

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...