Autor Tema: Aproximar una función con Taylor

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20 Junio, 2014, 09:23 am
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ComeCocos

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Buenos días.

Sigo en mi repaso para la universidad, y esta vez me he topado con una función que tengo que aproximar por Taylor, pero no entiendo muy bien cómo han acotado el error.

La serie es: \( f(x)=cos(x) + e^x \), aproximar con un Polinomio de Taylor de orden 3 centrada en \( x_0=0 \). Calcula el error si \( x\in{\left [ \displaystyle\frac{-1}{4}, \displaystyle\frac{1}{4}} \right ] \)

Bien, el polinomio sale: \( P(x)=2+x+\displaystyle\frac{x^3}{3!} \); y el error: \( \left |{\displaystyle\frac{(cos(c)+e^c) (x^4)}{4!}}\right | \), con \( c\in{(0, x)} \).

Ahora bien, según mis profesores:

\( \left |{\displaystyle\frac{(cos(c)+e^c) (x^4)}{4!}}\right |\displaystyle\leq \displaystyle\frac{(1+e^c)*x^4}{4!}=\displaystyle\frac{1}{2^{11}} \), si \( x\in{\left [ \displaystyle\frac{-1}{4}, \displaystyle\frac{1}{4}} \right ] \) y \( c\in{(0, x)} \)



Yo se, que para que eso sea así, el número e tiene que estar elevado a Ln(2) para que sea 2; pero el valor de x en ese intervalo no vale 0.69, sino, como máximo, 0.25.

¿Alguien entiende por qué hacen eso?

Muchas gracias de antemano =)

20 Junio, 2014, 10:23 am
Respuesta #1

teeteto

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En tu intervalo:

\( x^4\leq 1/2^8 \)

\( 1+e^c\leq 3 \)

\( 4!=4\cdot3\cdot2\geq 3\cdot 2^3 \)

Júntalo todo y listo.

Por supuesto, el último \( = \) de tu mensaje es un \( \leq \)
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)