Autor Tema: Modelo de potencias y hallar la expresión de una función cúbica

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19 Junio, 2014, 09:13 pm
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Deuterio

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Hola, soy nuevo por aquí, llevo un tiempo leyendo los foros y hasta ahora no me he animado a participar debido a mis escasos conocimientos de matemáticas. Ahora estoy intentando aprender más cosas pero creo que llevo una mala base y se me atascan algunos problemas, a ver si alguien me pudiera echar una mano:

El primer ejercicio, a pesar de tenerlo resuelto no lo entiendo, así que me ayudaría mucho una explicación de cómo se llega al modelo a partir de los datos.

1) La tabla muestra las distancias medias (promedio) d de los planetas al Sol (suponiendo que la unidad de medida es la distancia de la Tierra al Sol) y sus periodos T (tiempo de revolución en años):

Planeta---------d---------------T

Mercurio-------0'387----------0,241
Venus---------0'723----------0'615
Tierra-----------1---------------1
Marte---------1'523-----------1'881
Júpiter--------5,203----------11,861
Saturno-------9,541----------29,457
Urano---------19,190---------84,008
Neptuno------30,086---------164,784

a) Haga un modelo de potencias que coincida con los datos
b)La tercera ley de Kepler del movimiento planetario establece que "El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media respecto del Sol". El modelo que formuló, ¿corrobora la tercera ley de Kepler?

__________________


Y el segundo ejercicio:

2) Halle una expresión para una función cúbica f si f(1) = 6 y f(-1)=f(0)=f(2)=0

Este, según iba escribiendo, se me ha ocurrido que tal vez se puede hacer con una matriz de 4 ecuaciones, sustituyendo los datos que nos dan en la fórmula general de una función cúbica y resolviendo la matriz con Crammer, es así?


Gracias de antemano :)

19 Junio, 2014, 09:43 pm
Respuesta #1

DidacQCD

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Hola Deuterio,

Para el segundo, bien puedes hacer lo que has dicho, pero el problema nos ofrece una posibilidad más rápida.

Fíjate que \( x=-1 \), \( x=0 \) y \( x=2 \) son soluciones para la función de tercer grado \( f(x) \). Esto implica que la función \( g(x)=x(x+1)(x-2)=-2 x - x^2 + x^3 \) tiene por soluciones esos números. Además, cualquier función de la forma

\( h(x)=a g(x)=-2ax -ax^2 +ax^3 \)

También tendrá dichas soluciones. Ahora solo hace falta ajustar el valor de \( a \):

\( f(1)=-2a-a+a=-2a=6\Longrightarrow a=-3 \)

Por tanto la función buscada es:

\( f(x)=6x +3x^2-3x^3 \)

Un saludo

19 Junio, 2014, 10:55 pm
Respuesta #2

Deuterio

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Entiendo, era mucho más fácil de lo que pensaba, gracias!

A ver si alguien me puede ayudar con el primero :)

19 Junio, 2014, 11:48 pm
Respuesta #3

DidacQCD

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Hola de nuevo,

Del primero, supongo que te piden lo siguiente: encontrar una relación entre d y T mediante potencias. Entonces suponemos:
\( d^a=T^b\Longrightarrow a\ln d=b\ln T\Longrightarrow a/b=\ln T/\ln d \)

Si pruebas con los distintos valores obtienes siempre aproximadamente 1'5, es decir 3/2. Por tanto a=3 y b=2, es decir, el cubo de la distancia es proporcional al cuadrado del periodo, como dice la Ley de Kepler.

Un saludo

20 Junio, 2014, 01:30 am
Respuesta #4

Deuterio

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