Autor Tema: Problema de inducción matemática

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07 Mayo, 2014, 07:11 pm
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zero_abc

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Hola un favor, ayúdenme con este problema:

Encontrar la fórmula y demostrar por inducción matemática

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{ \left\|{\sqrt{i+2}}\right\|} \)

Observación ..esas barras significan máximo entero.

Ayúdenme, gracias  ;)

26 Mayo, 2014, 03:30 am
Respuesta #1

delacruz

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 Hola zero_abc,



Sea \( S_n =\displaystyle\sum_{i=1}^n{ \left\|{\sqrt[ ]{i+2}}\right\|} \)

Obtengo:

       \( S_n=n+(m-1)(n+3)-\displaystyle\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+1; \)        Siendo \( m= \left\|{\sqrt[ ]{n+2}}\right\| \)               (1)



Para obtener \( S_n \) he tenido en cuenta que cada término n del sumatorio incrementa al anterior en \(  \left\|{\sqrt[ ]{n+2}}\right\| \). Luego para formar \( S_n \) tengo que introducir n unos más \( n-(k^2-3) \) unos por cada \( k\leq{\left\|{\sqrt[ ]{n+2}}\right\|} \) desde k=2 (en total m-1). Lo anterior junto con \( \displaystyle\sum_{k=2}^m{k^2}=\displaystyle\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}-1 \) nos sirve para obtener \( S_n \).


2ª parte: demostrar por inducción que se cumple \(  (1)  \).

Para n=1:

m=1,          \( S_1=1+0-\displaystyle\frac{1\cdot{2\cdot{3}}}{6}+1=1=\displaystyle\sum_{i=1}^n{ \left\|{\sqrt[ ]{i+2}}\right\|} \)               Es cierto para n=1.

Suponemos cierto para n.

Veamos que ocurre para n=n+1:

Pueden ocurrir dos casos:
 
Caso a)

\(  \left\|{\sqrt[ ]{(n+1)+2}}\right\|= \left\|{\sqrt[ ]{n+2}}\right\|=m \). En tal situación se debe de cumplir que \( S_(_n_+_1_) - S_n =m \). Veamos si ocurre:

\( S_(_n_+_1_) -S_n = n+1+(m-1)(n+4)-n-(m-1)(n+3)=n+1+mn+4m-n-4-n-mn-3m+n+3=m. \)

Se cumple el caso a).

Caso b)

\(  \left\|{\sqrt[ ]{(n+1)+2}}\right\|= m+1;\ \ \left\|{\sqrt[ ]{n+2}}\right\|=m \). En tal situación se debe de cumplir que \( S_(_n_+_1_) - S_n =m+1 \). Veamos si ocurre:

\( S_(_n_+_1_)=n+1+nm+4m-\displaystyle\frac{2m^3+9m^2+13m+6}{6}+1 \)

\( S_n=n+mn+3m-n-3-\displaystyle\frac{2m^3+3m^2+m}{6}+1 \)


\( S_(_n_+_1_)-S_n = 1+n+3+m-\displaystyle\frac{6m^2+12m+6}{6}=1+n+3+m-m^2-2m-1=1+n+3-(m+1)^2+m=[(n+1)+2]-(m+1)^2+(m+1) \)

\( m+1= \left\|{\sqrt[ ]{(n+1)+2}}\right\| \). Como en este caso al pasar de n a n+1 pasamos de m a m+1, tenemos que \( (m+1)^2=n+3 \).

Con lo que

\( S_(_n_+_1_)-S_n = m+1 \).   

Se cumple el caso b).


Con lo que la proposición también es válida para n+1 y por tanto para todos los naturales.

30 Mayo, 2014, 01:35 am
Respuesta #2

zero_abc

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hola ..gracias por resolverlo   :-X

01 Junio, 2014, 07:26 pm
Respuesta #3

delacruz

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