Autor Tema: Progresión (aritmética, geométrica)

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25 Mayo, 2014, 04:57 am
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cristianoceli

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Tengo un problema con este ejercicio no sé como plantearlo

Si los números x, y, z están en P.G. (progresión geométrica) y son distintos entre si, probar que

\( \displaystyle\frac{1}{y-x} , \displaystyle\frac{1}{2y} , \displaystyle\frac{1}{y-z}  \) están en P.A. (progresión aritmética)

De antemano gracias.

25 Mayo, 2014, 05:32 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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\(  y = r\cdot x  \)
\(  z = r^2 \cdot x  \).
Por estar en progresión geometrica.


\(  \dfrac{1}{y-x} = \dfrac{1}{r\cdot x - x} = \dfrac{1}{x\cdot (r-1)}  \).

Tengo que \(  \dfrac{1}{2y} - \dfrac{1}{y-x} = \dfrac{1}{2rx} - \dfrac{1}{x(r-1)}  = - \dfrac{{\red r}+1}{2r(r-1)x}  \).

Mira si te sirve:

Mañana lo revisaré.

26 Mayo, 2014, 03:16 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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\(  \dfrac{1}{2y} = \dfrac{1}{rx}  \)

\(  \dfrac{1}{2rx}  -  \dfrac{r +1}{2r(r-1)x} = \dfrac{1}{2rx}\cdot [ 1 - \dfrac{r+1}{r-1} ] =  \)

\(  = \dfrac{1}{2rx} \cdot [\dfrac{r-1-r-1}{r-1}] = \dfrac{1}{2rx} \cdot [\dfrac{-2}{r-1}] =  \)

\(  = \dfrac{-2}{2rx\cdot (r-1)} = \dfrac{2}{2rx\cdot (1-r)} = \dfrac{1}{rx\cdot (1-r)} \).

\(  \dfrac{1}{y-z} = \dfrac{1}{rx- r^2x} = \dfrac{1}{rx\cdot (1-r)}  \).

Están en progresión aritmética.

26 Mayo, 2014, 03:28 am
Respuesta #3

cristianoceli

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Muchas gracias pablito como siempre muy oportuno