Autor Tema: Autovalores y autovectores

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27 Mayo, 2014, 01:11 pm
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julinana

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Hola,

Tengo que sacar los autovalores y autovectores de A, pero me lio...

\( A=\begin{bmatrix}
3 &1  &1 \\
1 &3  &1 \\
1 &1  &3
\end{bmatrix} \)

Así que hago:

\( [A-AI]=\begin{bmatrix}
3-\lambda  & 1 & 1\\
1 & 3-\lambda &1 \\
 1& 1 & 3-\lambda
\end{bmatrix}
\\
\\
\det[A-AI]=(3-\lambda)^3+3\lambda-7=0
\\\lambda_1=2 \ (doble)
\\\lambda_2=5 \)

pero cuando uso estos valores:

\( \\\lambda_1=2 \rightarrow
\\
\\
\begin{bmatrix}
1 &  1&1 \\
1 & 1 & 1\\
1 &1  & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}
\\
\\
\\\lambda_2=5 \rightarrow
\\
\\
\begin{bmatrix}
-2 &  1&1 \\
1 & -2 & 1\\
1 &1  & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}
\\
\\ \)

pero esto no lo puedo resolver...
¿Como hago?

Gracias,
Un saludo.

27 Mayo, 2014, 03:24 pm
Respuesta #1

Fallen Angel

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No tienes que sustituir el valor propio en \( A-\lambda Id \) e igualar a 0.

Lo que tienes es que  resolver el sistema de ecuaciones lineales \( Av=\lambda v \)
La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré

27 Mayo, 2014, 03:31 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Deberás triangular las matrices.
\( \begin{bmatrix}
1 &  1&1 \\
1 & 1 & 1\\
1 &1  & 1
\end{bmatrix}
\xrightarrow[R_3\xrightarrow{}R_3-R_1]{R_2\xrightarrow{}R_2-R_1}
\begin{bmatrix}
1 &  1&1 \\
0 & 0 & 0\\
0 &0  & 0
\end{bmatrix} \)
Esto es
\(
\begin{bmatrix}
1 &  1&1 \\
0 & 0 & 0\\
0 &0  & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix} \)
Esto implica que \( x+y+z=0 \) ahora debemos encontrar dos vectores linealmente independientes. En este caso si x=1, y=-1 y z=0 tendremos el vector \( \begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{bmatrix} \)
el otro podría ser cuando x=1, y=0 y z=-1 obteniendo \( \begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix} \)
Los cuales son linealmente independientes.
Ahora faltará el autovector asociado al autovalor 5. Este no lo haré.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

27 Mayo, 2014, 06:34 pm
Respuesta #3

feriva

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Hola, Julinana.

 En general, si tienes una matriz diagonalizable de tres dimensiones y un autovalor doble, lo que tienes que hacer es obtener las ecuaciones paramétricas del sistema \( (A-\lambda I)(x,y,z)=0 \), donde lambda es ese autovalor doble.
 
 Si es diagonalizable, a ese autovalor doble irán asociados dos autovectores (dado que al autovalor simple le  corresponde uno) por lo que la dimensión del espacio (que es tres) menos el rango de ese sistema tiene que ser con seguridad 2; o sea: 3-1=2; el rango va a ser 1. Es decir, es un subespacio de dimensión 2, un plano, con dos autovectores LI. Eso quiere decir también que en las paramétricas tienes que emplear 2 parámetros.

 Una vez que tienes las paramétricas, es muy fácil obtener el vector general (en función de lambda y beta, los dos parámetros) pues lo obtienes tomando los parámetros (que están igualados a x,y,z en las ecuaciones) con sus coeficientes y prescindiendo de los términos independientes del parámetro Aquí lo mismo que he corregido en el otro, sin son autovectores en el sistema no vas a tener términos independientes, se me fue el santo al cielo, perdona; pero en otros problemas sí hay que tenerlo en cuenta

 Pongo un ejemplo (que no es el tuyo) imagina que tienes las paramétricas

 \( x=\lambda +3 \)

 \( y=\beta \)

 \( z=\dfrac{\lambda}{2} \)

 Pues entonces el vector general sería;


 \( (\lambda,\,\beta,\, \dfrac{\lambda}{2} \)

 Dando valores a lambda y beta, puedes obtener dos vectores linealmente independientes y con eso ya tienes los dos autovectores. Lo más habitual es hacer primero  \( \lambda=1;\,\,\,\beta=0 \) para obtener un vector, y después al revés para obtener el otro   \( \lambda=0;\,\,\,\beta=1 \); Pero en este caso (en el del ejemplo que pongo yo) podrías hacer mejor lambda igual dos, para que se vaya la fracción, eso ya depende, la cuestión es que los dos sean linealmente independientes, claro. 

 Saludos.

27 Mayo, 2014, 07:31 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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No tienes que sustituir el valor propio en \( A-\lambda Id \) e igualar a 0.
Lo que tienes es que  resolver el sistema de ecuaciones lineales \( Av=\lambda v \)

Son formas equivalentes:

          \( Av=\lambda v\Leftrightarrow Av-\lambda v=0\Leftrightarrow Av-\lambda Iv=0\Leftrightarrow (A-\lambda I)v=0. \)

27 Mayo, 2014, 08:06 pm
Respuesta #5

Fallen Angel

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Si, lo sé, fue un despiste por hacer las cosas demasiado rápido.
La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré

28 Mayo, 2014, 10:00 pm
Respuesta #6

julinana

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Feriva, me temo que no te entiendo... :(

31 Mayo, 2014, 07:55 am
Respuesta #7

Cesar O

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Hola, julinana

Por lo que he visto sabes calcular los valores propios de la matriz. Lo que sigue es encontrar una base para el \( ker(A- \lambda I) \). En otras palabras lo que debes hacer es resolver el sistema  \( (A- \lambda I)v=0 \). Donde \( v \) va hacer el vector propio asociado al valor propio \( \lambda \).

Un saludo.
Cesar O

31 Mayo, 2014, 01:16 pm
Respuesta #8

feriva

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Feriva, me temo que no te entiendo... :(

 No te preocupes, te explico.

Tienes:

\( (A-2I)(x,y,z)=(0,0,0)\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x\\
y\\
z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\end{array}\right] \)

De aquí sale una sola ecuación, ésta

\( x+y+z=0 \)

Ésta es una ecuación implícita de tres variables (que son x,y,z en este caso) que, como sabes, es la ecuación de un plano; un plano en \( \mathbb{R}^{3} \) se define con dos vectores linealmente independientes (como en cualquier otra dimensión) pero con una sola ecuación (en cambio una recta se define con dos). Los vectores de ese plano (dos vectores cualesquiera linealmente independientes de ese plano) son los dos autovectores que necesitas.

Si sabes obtenerlos (que supongo que sí porque eso se estudia antes que los autovalores y la diagonalización) pues ya está, no hace falta más, no obstante te amplió la cuestión en el spoiler

Spoiler

La forma de la ecuación vectorial del plano es ésta

\( P=Q+av_{1}+bv_{2} \)

Donde “P” y “Q” son puntos (de tres coordenadas) las uves son vectores, y “a” y “b” son escalares.

Si en la ecuación despejamos “Q”, tenemos el vector “P-Q” (un punto menos un punto es un vector) expresado como combinación lineal de los vectores linealmente independientes “uve” que aparecen ahí con sus correspondientes subíndices.

Puesto que la ecuación vectorial del plano requiere de dos variables distintas para los escalares (una por cada vector linealmente independiente) las ecuaciones paramétricas del plano necesitarán dos variables distintas para definir los parámetros.

Entonces, sabiendo esto, ya podemos obtener las paramétricas a partir de la ecuación implícita (sin saber esto no se puede, porque no se sabe cuántos parámetros hay que usar).

Por esto es por lo que te decía que si el rango del sistema es 1 y la dimensión del espacio es 3, basta hacer la resta

\( 3-1=2 \)

para saber cuántos parámetros tenemos que usar; en este caso 2, como se ve. Y no quiere decir más que eso, que al tener rango 1, entonces tenemos la ecuación de un plano y un plano se define con dos dos vectores linealmente independientes.

Ahora, a partir de tu ecuación (\( x+y+z=0 \)) vamos a obtener las paramétricas. Cómo se hace, tomando dos variables (las que quieras) e igulándolas a otras variables, por ejemplo lambda y beta (que son los parámetros).

\( x=\lambda \)

\( y=\beta \)

y para la tercera ecuación que nos falta, expresamos “z” en función de lambda y beta (como ves no es más que una cuestión de cambiar nombres a las variables, pero es mejor que dar valores arbitrarios directamente, lo cual puede hacer que cometamos errores graves por despiste si confundimos coordenadas de puntos con coordenadas de vectores; ahora más tarde verás por qué).

\( z=-\lambda-\beta \)

Y esas son las tres ecuaciones paramétricas.

Bueno, pues ahora, teniendo estas ecuaciones es muy fácil obtener los vectores de ese plano (que son los autovectores asociados al autovalor 2).

En este caso el vector general es sencillamente \( (\lambda,\,\,\beta,\,\,\lambda+\beta) \)

Y de ahí, dando valores a lambda y beta, puedes obtener los autovectores.

Como en la ecuación implícita que obtienes no hay término independiente, ésta no tiene peligro sin pasarla a paramétricas; podrías obtener dos vectores, con cuidado de que fueran LI, dando valores directamente a las variables x,y,z. Pero si hay término independiente, como te decía, hay riesgo de despistarse y confundir coordenadas de puntos con coordenadas de vectores.

Porque si tú tienes

\( x=\lambda \)

Tienes que “x” es coordenada de un punto del plano; pero también eso mismo es cierto escrito así

\( x-0=\lambda \)

Tenemos coordenada de punto (que es x) menos coordenada de punto (que es cero) igual a coordenada de vector, que es lambda.

Y si se diera el caso de otra paramétrica distinta

\( x=4\beta+3 \)

se despeja y el análisis es el mismo

\( x-3=4\beta \)

Tenemos que “x” y “3” son coordenadas de punto y \( 4\beta \) es coordenada de vector.

Pero si lo escribes sin cambiar el nombre de la variable (sin dar parámetros) podemos tener

\( x=4y+3 \)

Y puedes que te equivoques y digas: “pues si elijo dar el valor cero a “y” la primera coordenada del vector será 3”. Y eso está mal (aunque en el caso de los autovectores no te va a pasar eso, porque no aparecen términos independientes, más adelante, con otras cosas, sí te va a pasar)

Ahí lo que ocurre es que “x-3” es coordenada de vector y esa coordenada es igual a “4y”; pero con esas letras es un lío, por eso se usan las paramétricas, para que se vean bien las coordenadas de los vectores y no se confundan las cosas.

[cerrar]

Saludos