Autor Tema: Ejes coordenados

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27 Mayo, 2014, 01:55 am
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tarantino

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Buenas noches de nuevo. Estoy haciendo unos ejercicios de geometría.

El enunciado dice así:
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano \( x+y+2z-1=0 \) y los ejes coordenados.

¿Qué son los ejes coordenados?
He mirado la solución y deben de ser los vértices \( A (1,0,0) \) \( B (0,1,0) \) y \( C (0,0,\displaystyle\frac{1}{2}) \)

He pensado que sería la intersección del plano con cada plano (\( x=0 \), \( y=0 \) y \( z=0 \)) pero la intersección de dos planos es una recta y no un punto. ¿Alguna idea?
Muchas gracias.

27 Mayo, 2014, 02:20 am
Respuesta #1

aladan

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Hola tarantino

No voy a darte una respuesta a tu cuestión prefiero formularte una pregunta para intentar que te contestes tu mismo.

¿ Cómo representas en el espacio el punto \( P(1,1,1) \)? por ejemplo.

Saludos
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27 Mayo, 2014, 02:42 am
Respuesta #2

tarantino

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Aaaaanda! Vaya pregunta más tonta he hecho...  :banghead:

Me imagino que el plano corta con los ejes, tomados como rectas. Claro, intersección del plano con la recta, da el punto. Se me había ido la olla.  Muchas gracias

Dejo la comprobación del punto A

\( \begin{Bmatrix}{ x+y+2z-1=0}&\mbox{  }&\\x=0& \mbox{}& \\y=0 & \mbox{}& \end{matrix} \rightarrow{} 2z-1=0 \rightarrow{z=\frac{1}{2}} \)

Saludos!



27 Mayo, 2014, 03:26 am
Respuesta #3

aladan

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Correcto, ahora solventado ese ¿ paréntesis ?, te queda resolver el auténtico problema el área del triángulo ABC, ¿puedes ?
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27 Mayo, 2014, 04:31 am
Respuesta #4

ingmarov

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El producto cruz de dos vectores te puede ayudar a calcular el area.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

27 Mayo, 2014, 09:51 pm
Respuesta #5

tarantino

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Sí.
Área del triángulo\(  = \displaystyle\frac{1}{2}\left |{\overrightarrow{v}\times{}\overrightarrow{w}}\right | \)

Siendo
\( \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}=(-1,1,0) \)
\( \overrightarrow{w}=\overrightarrow{AC}=(-1,0,\frac{1}{2}) \)
\( \overrightarrow{v}\times{}\overrightarrow{w}=(1,0,0) \)
\( \left |{\overrightarrow{v}\times{}\overrightarrow{w}}\right |=\sqrt[]{1^2+0^2+0^2}=\sqrt[]{1}=1 \)
Entonces
Área del triángulo \( = \displaystyle\frac{1}{2}1=\frac{1}{2}u^2 \)

Según el solucionario \( \left |{(-1,1,0)\times{}(-1,0,\frac{1}{2})}\right |=\displaystyle\sqrt[]{\frac{3}{2}} \)
¿En qué me he equivocado? ¿En hacer el producto de los vectores o el valor absoluto ese?

Saludos!

27 Mayo, 2014, 10:08 pm
Respuesta #6

aladan

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Hola

Algunas partes de tu mensaje no se entienden, quizá haya fallos de \( La TeX \), pero algún error has debido cometer en ese producto vectorial, mira

\( \vec{v}\times{\vec{w}}=\begin{vmatrix}{\vec{i}}&{\vec{j}}&{\vec{k}}\\{-1}&{1}&{0}\\{-1}&{0}&{1/2}\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}\vec{i}+\dfrac{1}{2}\vec{j}+\vec{k} \)

cuyo módulo como puedes ver es

\( \left |{\vec{v}\times{\vec{w}}}\right |=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+1}=\sqrt{\dfrac{3}{2}} \)

Saludos
Siempre a vuestra disposición

27 Mayo, 2014, 10:56 pm
Respuesta #7

tarantino

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Sí. Ya sé el fallo. Yo no he hecho ningún determinante, sino que he multiplicado los vectores brutamente (las equis con las equis, las ''ís'' con las ''ís'' y las zetas con las zetas). No me acordaba de hacer el producto vectorial, menos mal que me lo has recordado. Muchas gracias.

Saludos!