Autor Tema: Derivada por definición, e ¿integral?

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27 Mayo, 2014, 12:16 am
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tarantino

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Buenas noches. He estado practicando un poco las integrales y derivadas y me ha surgido una duda.
¿Usando la definición de la derivada puedo saber cual es la derivada de una función en función de x? He hecho un ejemplo, y sí que me da, pero quiera que me confirméis que no es pura coincidencia.
Os muestro la definición de la derivada para refrescar el cerebro.
\( f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\h}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \)
Voy a resolver un ejemplo. El ejemplo lo tengo resuelto y espero no equivocarme.
El ejemplo será uno fácil, por ejemplo:
\( f(x)=x^2+5 \) que sé de sobra ya que: \( f^{\prime}(x)=2x \)

Spoiler
\( f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\h}{\frac{(x+h)^2+5-(x^2+5)}{h}} \)
\( f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\h}{\frac{(x+h)^2+5-x^2-5}{h}} \)
\( f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\h}{\frac{x^2+h^2+2xh-x^2}{h}} \)
\( f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\h}{\frac{h^2+2xh}{h}} \)
\( f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\h}\{h+2x}{}} \)
\( f^{\prime}(x)=0+2x=2x \)
[cerrar]

Y la pregunta más importante para mí, la qué más utilidad tendría si me contestaseis que sí, es: ¿Existe alguna fórmula, como la regla de la derivada por definición, que sirva para las integrales?
Si no te quieres estudiar toda la tabla de las derivadas, no pasa nada. Con saberte la definición, puedes hallar todas. Pero, para las integrales, ¿existirá algo que me ahorre estudiarme la tabla? Tengo el examen en dos días y sé integrar/derivar lo justo.

Gracias de antemano

Saludos!!

27 Mayo, 2014, 12:42 am
Respuesta #1

elcristo

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Hola.

Si la definición de derivada no concordase con la derivación que hacemos ¿no habría un pequeño problema ahí? No es casualidad que los métodos que te hayan enseñado coincidan aplicando la definición de la derivada, se deducen de ahí:

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} = \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{(x+h)^n-x^n}{h}} = \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n}{0}x^n + \displaystyle\binom{n}{1}x^{n-1}h+\ldots+\displaystyle\binom{n}{n}h^n-x^n}{h}} = \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\red x^n \black + nx^{n-1}h +\displaystyle\binom{4}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots + h^n \red - x^n \black}{h}} = \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\red h \black (nx^{n-1} + \ldots + h^{n-1}}{\red h \black}} = nx^{n-1} \)

También se deduce que la de una constante es 0, etc.

En cuanto a la integral, esta se define como la inversa de la derivada, no hay una expresión en sí que nos diga cómo calcularla. Hay métodos como la integración por partes, pero no hay una "universal".

Así que si no quieres aprenderte toda la tabla (yo tampoco) hay varios métodos que debes dominar, integración por partes, cambio de variable, y cociente. Aparte, claro está, de saberte un mínimo de integrales inmediatas. La exponencial, acotangente, potencias, etc.

Saludos.

27 Mayo, 2014, 01:25 am
Respuesta #2

tarantino

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Ya decía yo..
Muchas gracias ''elcristo''. Me tocará entonces practicar más hasta aprendérmelas... ::)
Saludos!

27 Mayo, 2014, 04:41 am
Respuesta #3

ingmarov

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No te confíes tanto del cálculo de derivada por definición, saber esto te ahorra tiempo de estudio pero te puede incrementar seriamente los cálculos en un examen. Debes admitir que la función de tu ejemplo era muy sencilla de resolver por este método, pero en el examen requieres un método que acelere tu tiempo de resolución ya que los problemas pueden subir seriamente de nivel, y el método no es otro que la memorización de esas tablas.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

27 Mayo, 2014, 09:52 pm
Respuesta #4

tarantino

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Ya, pero solamente lo haría por la definición si no pudiese avanzar más en el examen y no tuviese otra opción. Cosa que me pasa frecuentemente  :banghead:

27 Mayo, 2014, 10:31 pm
Respuesta #5

elcristo

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Pues malamente, aplicar la definición es un coñazo de cuidado, y es muy fácil equivocase. Lo mejor sin duda es aprenderse las básicas, es decir: Un puñado de las trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, potencias, raíces, racionales y con eso ya vas sobrado a cualquier lado.

27 Mayo, 2014, 10:50 pm
Respuesta #6

Juan Pablo Sancho

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Propón alguna integral o derivada de tipo  examen, supongo que alguien intentará ayudarte.

27 Mayo, 2014, 11:01 pm
Respuesta #7

tarantino

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Ya. Las fáciles me las sé (\( x^a \),\( e^x \),\( lnx \)) pero como me pongan la derivada de alguna arco tangente y cosas así, o me pongo a deducir con las propiedades trigonométricas como un bestia, o paso directamente de ejercicio.

27 Mayo, 2014, 11:05 pm
Respuesta #8

elcristo

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La derivada del arcotangente por la definición creo que te será muy pero que muy difícil sacarla. Sin embargo, es muy muy inmediata:

\( (arctg(f(x)))' = \displaystyle\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} \)

Y ya está, sencilla y rápida, aunque luego pueden complicarte todo lo que quieran la \( f(x) \) pero no dejaría de ser multiplicar \( \displaystyle\frac{1}{1+f(x)^2} \) por la derivada de lo de adentro, sea lo que sea.

27 Mayo, 2014, 11:11 pm
Respuesta #9

Piockñec

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Los consejos que te están dando son muy buenos, más te vale aprenderte esas reglas, y en tu casa si quieres dedúcelos cuantos puedas mejor! :) Pero en los exámenes de matemáticas, el peor enemigo es el tiempo.

Sobre tu pregunta de la definición de integral, puedes leer este cursillo que estoy haciendo (lo tengo un poco abandonado, mea culpa, me olvidé de él. Me pondré a tope en cuanto pueda :) ).
En concreto, este apartado de la integral:
Curso de matemáticas nivel: Bachillerato (selectividad)
Viene deducida y motivada la definición de integral (y antes la de derivada, pero preguntabas por la de integral), y como ejemplo de aplicación la integral de 2x.

¡Espero que te ayude! :)

EDITO: El apartado que te convendría leer en mi opinión, no es el que te he puesto, sino el siguiente (aunque el que te he puesto está gracioso :P)