También se puede calcular, calculando los residuos.
la función \( \frac{1}{z^4+2} \) tiene dos polos, en \( 2i \) y en \( -2i \). y la recta \( x+y=1 \) es una recta que pasa entre estos dos polos, al igual que la recta real. Entonces existe una homotpía entre estas dos rectas, por lo que calcular la integral sobre la recta \( x+y=1 \) es lo mismo que calcular la integral sobre la recta real.
Entonces , Dado que la función a integrar es par, tenemos que:
\( \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{z^4+2}=\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R}^R\frac{dz}{z^4+2} \)
Entonces calculamos \( \int_{-R}^R\frac{dz}{z^4+2} \). Para esto entonces sea \( \alpha \) El semicírculo que va del punto \( R \) al punto \( -R \) tal que la curva cerrada \( [-R,R]+\alpha \) sólo contenga al punto \( 2i \). Por el teorema del residuo, tenemos que
\( \int_{[-R,R]+\alpha}\frac{dz}{z^4+2}= 2\pi i 1/4i = \pi/2 \)
de tal suerte que
\( \int_{-R}^R\frac{dz}{z^4+2}= \pi/2-\int_{\alpha}\frac{dz}{z^4+2} \)
Sin embargo, cuando \( |z|=R \), \( |z^4+2|\geq | |z^4|-|2||=|R^4-2| \) y entonces
\( \frac{1}{z^4+2}\leq \frac{1}{R^4-2} \)
por lo que
\( \int_{\alpha}\frac{dz}{z^4+2}\leq \frac{1}{R^4-2}\pi R \)
(donde \( \pi R \) es la longitud del semicirculo \( \alpha \)) que, cuando \( R\mapsto \infty \), \( \frac{1}{R^4-2}\pi R\mapsto 0 \)
y por lo tanto, al tomar el límite cuand o\( R\mapsto \infty \) se obtiene que
\( \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{z^4+2}=\frac{\pi}{2} \)
