¡Muchas gracias! Ya entiendo mi confusión.
La \( F \) es \( F(x',y',x,y,t)=(x'-5xyt,y'-4x-yt^2) \) y no puedes pensar que operas la solución \( (x(t), y(t)) \) vectorialmente.
Al considerar como incógnitas de la EDO las funciones vectoriales, para mi no tenía demasiado sentido que el rango no fuera \( \mathbb{R}^m \), porque yo las interpretaba como una EDO puramente y no como un sistema, de modo que como mucho yo veía \( m \) ecuaciones con una única incógnita vectorial.
Por decirlo de alguna manera sencillamente interpretaba que las funciones incógnitas pueden ser de varias variables siempre y cuando sean vectoriales (el caso más general de EDO, de lo contrario serían EDP). Pero si aún hago más general mi definición de EDO y admito el rango de las soluciones y la EDO diferentes, puedo interpretar EDO y sistema de EDOS de la misma manera, por eso estaba tan perdido con lo que decíais.
Con productos escalares y cosas similares me quería referir a funciones que involucraran de forma independiente a las distintas coordenadas: cosa que yo no había considerado porque para mi esa era la definición de EDO y no de sistema, de modo que yo podría considerar un sistema de EDOS que tienen rango en \( \mathbb{R}^m \), lo cual en realidad es una tontería porque a la práctica son EDOS independientes, en mi caso.
Creo que toda la confusión se debe en que para mí las EDOS también incluían EDOS triviales de varias variables. Y quizá es atípico y se entendió que eran sistemas por no estar definidas en rango real. Y para mí como no eran sistemas no entendía nada.
De todos modos la parte que realmente me preocupaba era la parte de la definición. ¿Quieres decir que mi problema es que intento identificar una EDO con un conjunto? ¿Eso no lo hacen los propios autores de los libros al decir que una EDO es una función? Si ellos afirman que es una función que da cero cuando le pasas unas ciertas derivadas sucesivas, son ellos los que están imponiendo esa definción un tanto engorrosa que yo he expresado.
Por otra parte entiendo lo que me has explicado: una EDO en realidad es sencillamente el problema que te planteas al tratar de ver si existirán funciones (y cuáles) verificando una cierta relación con sus derivadas. En ese sentido la EDO no es ninguna función, ni siquiera es un concepto matemático en si mismo. Y me parece algo muy intuitivo, porque en realidad es lo que quieres. Y cuando escribes a la práctica una edo como ecuación, realmente estás imponiendo algo que puede no tener sentido, pero ese caso no es que no exista la EDO, es sencillamente que no hay ninguna función tal y como la estás buscando. Así que quizás la mejor definición sea no dar definición alguna.
El problema es que yo creo que cuando están identificando una EDO con una función ya están metiendo conceptos conjuntistas de por medio y deberían ser cuidadosos y claros con lo que están definiendo. Porque si el lector interpreta que algo no es EDO a menos que tenga solución, siendo que estás imponiendo que la tenga, ¡no creo que en ese caso sea problema del lector! En tu libro ha sido en el único en que he encontrado el matiz de que la función que verifica eso suele ser desconocida: suele ser, en ningún momento niegas su existencia, porque la has presupuesto. Y además has añadido que es una "expresión de ese estilo", lo que me lleva a pensar que una expresión de ese estilo pero que no sea cierta para ninguna función, también será una EDO. En cualquier caso pienso que llevas razón cuando dices que es más natural no asociar ningún conjunto, porque para que tenga coherencia del todo si se opta por vincularlo a un conjunto, de algún modo es algo basante artificioso y realmente no es necesario.
Quizás es que yo leo las cosas muy al pie de la letra, pero cuando me encuentro con una definición conjuntista entiendo que es lo que hay que hacer (amén de buscar después la motivación real). ¿Por qué recurrir a definiciones que se quedan a caballo entre una definición conjuntista formal y la idea del problema de encontrar una solución?
