[Delvalle]

Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de transformada de Laplace:

\( y''+y'= 8x^2, \\ y(0)=0 , \\ y'(0)=1 \)

Al aplicar la transformada de Laplace a ambos lados:

\( L\{y''+y'\}=L\{8x^2\} \)

\( L\{y''+y'\}=s^2L\{y\}-sy(0)-y'(0)+sL\{y\}-y'(0) \)

\( L\{8x^2\}=\frac{16}{s^3} \)

Luego

\( s^2L\{y\}-sy(0)-y'(0)+sL\{y\}-y(0)= \frac{16}{s^3} \)

Al ingresar las condiciones iniciales
\( y(0)=0 \\ y'(0)=1 \)

\( s^2L\{y\}- s(0)-1+sL\{y\}-0=\frac{16}{s^3} \)
Al simplificar

\( s^2L\{y\}+sL\{y\} -1 =\frac{16}{s^3} \)

Al despejar \( L\{y\}: L\{y\}= \frac{16+s^3}{s^4(1+s)} \)

Aplicando la transformada inversa de Laplace:

\( y= L^{-1} \{ \frac{16+s^3}{s^4(1+s)}\} \)

\( y= -15+16x-8x^2+ \frac{8x^3}{3}+15e^{-x} \)

Quiero saber si está correcto chicos.

[Masacroso]

Quiero saber si está correcto chicos.

Para saber si el resultado es correcto te basta ver si las condiciones iniciales se cumplen y derivar para comprobar que la ecuación diferencial se cumple. Lo he mirado un momento y parece ser que sí, que la solución es correcta.

[Delvalle]

Hola, he calculado la primera y segunda derivada, las he sustituido en la expresión y si se cumple, ahora mi duda surge en saber cómo se verifica si las condiciones iniciales se cumplen? Me puedes explicar este paso?

[zorropardo]

Hola, basta sustituir.

Si $$x=0 \Rightarrow{ y(0)=  -15+0+0+0+15e^{-0}= -15+15=0.}$$

Si $$x=0 \Rightarrow{ y'(0)=  16-0+0-15e^{-0}= 16-15=1  }$$

[Delvalle]

Muchas gracias