Autor Tema: Sistemas dinámicos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

12 Abril, 2021, 10:45 am
Leído 86 veces

mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 242
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea \( A=\begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{4}{5}}&{\displaystyle\frac{1}{10}}\\{\displaystyle\frac{1}{5}}&{\displaystyle\frac{9}{10}}\end{pmatrix} \). Consideramos el sistema dinámico:
\( A\begin{pmatrix}{C_k}\\{A_k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{C_{k+1}}\\{A_{k+1}}\end{pmatrix} \).

Consideramos \( C_0=1, A_0=0 \).¿Se estabilizarán los valores de \( C_k,A_k \) cuando k tiende a infinito?

No se como demostrar que se estabilizan formalmente. Por ordenador se observa que iterando convergen aproximadamente  a \( C=\displaystyle\frac{1,666}{5},A=\displaystyle\frac{3,33}{5} \).

Además suponiendo que existen puntos de estabilidad, resolviendo el sistema \( A\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix} \), se ven que los puntos fijos o estables son los de la forma \( (\displaystyle\frac{k}{2},k) \), lo cual tiene sentido con lo anterior.

¿Cómo hago para probar que los valores se estabilizan?

Un saludo.

12 Abril, 2021, 11:01 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,024
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Sea \( A=\begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{4}{5}}&{\displaystyle\frac{1}{10}}\\{\displaystyle\frac{1}{5}}&{\displaystyle\frac{9}{10}}\end{pmatrix} \). Consideramos el sistema dinámico:
\( A\begin{pmatrix}{C_k}\\{A_k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{C_{k+1}}\\{A_{k+1}}\end{pmatrix} \).

Consideramos \( C_0=1, A_0=0 \).¿Se estabilizarán los valores de \( C_k,A_k \) cuando k tiende a infinito?

No se como demostrar que se estabilizan formalmente. Por ordenador se observa que iterando convergen aproximadamente  a \( C=\displaystyle\frac{1,666}{5},A=\displaystyle\frac{3,33}{5} \).

Además suponiendo que existen puntos de estabilidad, resolviendo el sistema \( A\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix} \), se ven que los puntos fijos o estables son los de la forma \( (\displaystyle\frac{k}{2},k) \), lo cual tiene sentido con lo anterior.

¿Cómo hago para probar que los valores se estabilizan?

No se muy bien que teoría conoces sobre matrices.

La matriz dada es diagonalizable. Es decir:

\( A=PDP^{-1} \)

con \( D=diag(\lambda_1,\lambda_2) \).

Entonces \( A^n=PD^nP^{-1} \). Luego si \( \lambda_1^n,\lambda_2^n \) convergen tu sistema estabiliza para cualquier valor inicial ya que \( A^n \) converge y:

\( \begin{pmatrix}{C_k}\\{A_k}\end{pmatrix}=A^k\begin{pmatrix}{C_0}\\{A_0}\end{pmatrix} \)

Con esto puedes resolver este caso.

Saludos.

12 Abril, 2021, 11:08 am
Respuesta #2

mg

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 242
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Y si no convergiera para todos los valores iniciales, ¿como se haría? (por curiosidad)

Añadido: ¿Se puede estudiar solo para un valor inicial en concreto?

Un saludo.

12 Abril, 2021, 11:45 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,024
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Y si no convergiera para todos los valores iniciales, ¿como se haría? (por curiosidad)

En general si tienes una base de autovectores \( B=\{u_1,u_2,\ldots,u_n\} \) y una base de autovalores \( \{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\} \) puedes poner el valor inicial en función de la base. Si sus coordenadas son \( u=(x_1,x_2,\ldots,x_n)_N \), entonces:

\( A^ku=(\lambda_1^kx_1,\lambda_2^kx_2,\ldots,\lambda_n^kx_n) \)

Eso te permite analizar cómodamente la convergencia.

Saludos.