Autor Tema: Demostrar la integral definida del valor absoluto del seno

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Abril, 2021, 07:38 am
Leído 125 veces

rojamer

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 19
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Requiero demostrar que:

\( \displaystyle\int_a^b{|\sin{x}|dx}=2\big(\lfloor b/\pi\rfloor-\lfloor a/\pi\rfloor\big)-\big((-1)^{\lfloor b/\pi\rfloor}\cos{b}-(-1)^{\lfloor a/\pi\rfloor}\cos{a}\big) \)

En donde \( \lfloor x\rfloor=max\{k\in{\mathbb{Z}}:k\leq{x}\} \)

11 Abril, 2021, 11:36 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,120
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Requiero demostrar que:

\( \displaystyle\int_a^b{|\sin{x}|dx}=2\big(\lfloor b/\pi\rfloor-\lfloor a/\pi\rfloor\big)-\big((-1)^{\lfloor b/\pi\rfloor}\cos{b}-(-1)^{\lfloor a/\pi\rfloor}\cos{a}\big) \)

En donde \( \lfloor x\rfloor=max\{k\in{\mathbb{Z}}:k\leq{x}\} \)

Por comodidad haciendo el cambio de variable \( x=\pi t \) consideramos la integral:

\( \displaystyle\int_{p}^{q}\pi |sin(\pi t)|dt  \)

Tenemos en cuenta que:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\pi |sin(\pi t)|dt=\ldots=2  \)

y además que la función \( |sin(\pi t)| \) es \( 1 \)-periódica.

Por tanto si \( n<m \) son enteros:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\pi |sin(\pi t)|dt=2(m-n)  \)

Entonces:

\( \displaystyle\int_{p}^{q}\pi |sin(\pi t)|dt=\displaystyle\int_{\lfloor p\rfloor}^{\lfloor q\rfloor}\pi |sin(\pi t)|dt+ \displaystyle\int_{\lfloor q\rfloor}^{q}\pi |sin(\pi t)|dt-\displaystyle\int_{\lfloor p\rfloor}^{p}\pi |sin(\pi t)|dt=2(\lfloor q\rfloor-\lfloor p\rfloor)+ \displaystyle\int_{\lfloor q\rfloor}^{q}\pi |sin(\pi t)|dt-\displaystyle\int_{\lfloor p\rfloor}^{p}\pi |sin(\pi t)|dt \) (*)

 Pero:

 - Si \( \lfloor q\rfloor \) es par:

\( \displaystyle\int_{\lfloor q\rfloor}^{q}\pi |sin(\pi t)|dt=\displaystyle\int_{\lfloor q\rfloor}^{q}\pi sin(\pi t)dt=-cos(\pi q)+cos(\lfloor q\rfloor \pi)=-cos(\pi q)+1 \)

 - Si \( \lfloor q\rfloor \) es impar:

\( \displaystyle\int_{\lfloor q\rfloor}^{q}\pi |sin(\pi t)|dt=-\displaystyle\int_{\lfloor q\rfloor}^{q}\pi sin(\pi t)dt=cos(\pi q)-cos(\lfloor q\rfloor \pi)=cos(\pi q)+1 \)

 Es decir:

\( \displaystyle\int_{\lfloor q\rfloor}^{q}\pi |sin(\pi t)|dt=-(-1)^{\lfloor q\rfloor}cos(\pi q)+1 \)

\( \displaystyle\int_{\lfloor p\rfloor}^{p}\pi |sin(\pi t)|dt=-(-1)^{\lfloor p\rfloor}cos(\pi p)+1 \)

 Susituyendo en (*):

\( \displaystyle\int_{p}^{q}\pi |sin(\pi t)|dt=2(\lfloor q\rfloor-\lfloor p\rfloor)-\left((-1)^{\lfloor q\rfloor}cos(\pi q)-(-1)^{\lfloor p\rfloor}cos(\pi p)\right) \).

 Deshaces el cambio con \( p=a/\pi \) y \( q=b\pi \) y listo.

Saludos.

12 Abril, 2021, 03:59 am
Respuesta #2

rojamer

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 19
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Ah, ya!... \( \textrm{Para }k\in{\mathbb{Z}}:\\

\displaystyle\int_{k-1}^k{\pi|\sin{(\pi t)}|dt}=2 \)
Muchas gracias. Lo necesitaba para justificar el cálculo de la distancia recorrida por una partícula con m.a.s., es decir, \( \displaystyle\int_{-\varphi}^{\omega t-\varphi}{|v(t)|dt}\textrm{, donde }v(t)=-A\omega\sin(\omega t-\varphi) \)