Autor Tema: Notación en Ideales y anillos

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08 Abril, 2021, 11:31 pm
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FernandoGG

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Buenas noches, me temo que me esté liando un poco con la notación, y os agradecería si me pudieseis concretar si la tengo clara:

1. \( 2\Bbb Z= \{...-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,....\} \), esto es, los múltiplos de dos.

2. \( \Bbb Z_2=\{[0],[1]\} \) (léase Z sub-dos).

3. \( 2\Bbb Z/8\Bbb Z \) sería el conjunto cociente de los múltiplos de dos entre los múltiplos de \( 8=\{8\Bbb Z, 2+8\Bbb Z, 4+8\Bbb Z, 6+8\Bbb Z\} \), esto es \( f:2\Bbb Z\to 8\Bbb Z,\, 2x\mapsto 2x+8\Bbb Z \),  siendo \( x \) un elemento de \( \Bbb Z \).

4. Por otro lado \( \Bbb Z_2/8\Bbb Z = \{8\Bbb Z, 1+8\Bbb Z\} \).

Os agradecería me comentarais si es correcto.

Muchas gracias y buenas noches.

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.

09 Abril, 2021, 12:22 am
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas noches, me temo que me esté liando un poco con la notación, y os agradecería si me pudieseis concretar si la tengo clara:

1. \( 2\Bbb Z= \{...-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,....\} \), esto es, los múltiplos de dos.

2. \( \Bbb Z_2=\{[0],[1]\} \) (léase Z sub-dos).

3. \( 2\Bbb Z/8\Bbb Z \) sería el conjunto cociente de los múltiplos de dos entre los múltiplos de \( 8=\{8\Bbb Z, 2+8\Bbb Z, 4+8\Bbb Z, 6+8\Bbb Z\} \), esto es \( f:2\Bbb Z\to 8\Bbb Z,\, 2x\mapsto 2x+8\Bbb Z \),  siendo \( x \) un elemento de \( \Bbb Z \).

4. Por otro lado \( \Bbb Z_2/8\Bbb Z = \{8\Bbb Z, 1+8\Bbb Z\} \).

Os agradecería me comentarais si es correcto.

Muchas gracias y buenas noches.

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.


Te he corregido el \( \LaTeX \) para que se vea claro el mensaje. Por favor la próxima vez escribe el mensaje en \( \LaTeX \), tienes un mini tutorial de cómo hacerlo aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=55682.0

Respecto a lo que preguntas: está todo correcto exceptuando dos cositas, la primera es que la expresión \( 8=\{8\Bbb Z, 2+8\Bbb Z, 4+8\Bbb Z, 6+8\Bbb Z\} \) no tiene mucho sentido, y esto de \( f:2\Bbb Z\to 8\Bbb Z,\, 2x\mapsto 2x+8\Bbb Z \) no sé a qué viene, eso es una función. El cociente definido por \( 2\mathbb Z /8\mathbb Z  \) es aquel compuesto por las clases laterales \( 2k+8\mathbb Z \) para \( k\in \mathbb Z  \).

La notación \( \mathbb Z _n \) se puede entender como equivalente a \( \mathbb Z /n\mathbb Z  \) pero también se utiliza para hablar del sistema de números \( n \)-ádico (cuando \( n \) es un número primo).

09 Abril, 2021, 08:47 am
Respuesta #2

FernandoGG

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Muchísimas gracias por tu comentarios!

09 Abril, 2021, 11:19 am
Respuesta #3

Masacroso

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Muchísimas gracias por tu comentarios!

Bueno, hay algo que ayer se me pasó y no estaba bien, y es que \( 8\mathbb Z  \) no es subgrupo (ni siquiera subconjunto) de \( \mathbb Z /2\mathbb Z  \), así que el "cociente" \( \frac{\mathbb Z /2\mathbb Z }{8\mathbb Z } \) no tiene mucho sentido.

10 Abril, 2021, 10:18 am
Respuesta #4

FernandoGG

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Hola,
Gracias por la aclaración.
Tengo un ejercicio cuyo enunciado es:

Son \( 2Z/8Z \) y \( Z_4 \) anillos isomórficos?

Y la respuesta es que no son isomórficos porque \( 2Z/8Z \) no tiene unidad, pero  \( Z_4 \) si la tiene.
Esa respuesta no implicaría que Z8 ha de ser subgrupo (y subanillo)?

Y mis disculpas por no escribir anteriormente en Latex. Había mirado el tutorial, pero  el botón del tutorial es "TEX" y ahora parece ser que es el que tiene el sumatorio, con lo que no lo encontraba.

Gracias


10 Abril, 2021, 10:55 am
Respuesta #5

geómetracat

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Hola,
Gracias por la aclaración.
Tengo un ejercicio cuyo enunciado es:

Son \( 2Z/8Z \) y \( Z_4 \) anillos isomórficos?

Y la respuesta es que no son isomórficos porque \( 2Z/8Z \) no tiene unidad, pero  \( Z_4 \) si la tiene.
Esa respuesta no implicaría que Z8 ha de ser subgrupo (y subanillo)?

Pero eso es distinto de lo que pusiste antes. No es lo mismo \[ 2Z/8Z \] que \[ Z_2/8Z \]. Lo primero tiene sentido, lo segundo no. Tanto \[ 2Z \] como \[ 8Z \] son ideales (y subanillos, si consideras anillos no unitarios) del anillo \[ Z \], y además \[ 8Z \] es un ideal del anillo no unitario \[ 2Z \], por lo que tiene sentido considerar el cociente.

En cambio, \[ 8Z \] no es un ideal del anillo \[ Z_2 \], por lo que el cociente \[ Z_2/8Z \] no tiene sentido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Abril, 2021, 04:55 pm
Respuesta #6

FernandoGG

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Hola,

ahora lo veo claro.
Muchísimas gracias por la aclaración
Un saludo a todos