Autor Tema: Integral

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07 Abril, 2021, 09:26 pm
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carambola

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Probad la siguiente igualdad:

Para toto $$x \in{[0, \frac{\pi}{2}]}$$

$$\displaystyle\int_{0}^{cos^2(x)}arccos(\sqrt{t})dt + \displaystyle\int_{0}^{sen^2(x)}arcsen(\sqrt{t})dt = \frac{\pi}{4}$$

Puede ser útil usar la siguiente igualdad:

$$ arcsen(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$$ para todo $$x \in{[-1, 1]}$$

07 Abril, 2021, 11:18 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Probad la siguiente igualdad:

Para toto $$x \in{[0, \frac{\pi}{2}]}$$

$$\displaystyle\int_{0}^{cos^2(x)}arccos(\sqrt{t})dt + \displaystyle\int_{0}^{sen^2(x)}arcsen(\sqrt{t})dt = \frac{\pi}{4}$$

Puede ser útil usar la siguiente igualdad:

$$ arcsen(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$$ para todo $$x \in{[-1, 1]}$$

Considera la función:

\( f(x)=\displaystyle\int_{0}^{cos^2(x)}arccos(\sqrt{t})dt + \displaystyle\int_{0}^{sen^2(x)}arcsen(\sqrt{t})dt \)

y comprueba que su derivada es nula. Por tanto la función es constante.

Luego calcula \( f(\pi/4) \) y concluye.

Saludos.