Autor Tema: Alguna acercamiento a esa conjetura?

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07 Abril, 2021, 03:34 pm
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Cobollatin

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Buen día, ¿alguno, de casualidad, conoce alguna literatura que me de un acercamiento a esta conjetura?
He intentado resolverlo por inducción pero estoy atorado al momento de reducir. Agradezco mucho la atención.

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{2n}tan\left(\dfrac{i \pi}{2n+1}\right)=(-1)^n(2n+1) \)

Mensaje corregido desde la administración.

07 Abril, 2021, 05:32 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buen día, ¿alguno, de casualidad, conoce alguna literatura que me de un acercamiento a esta conjetura?
He intentado resolverlo por inducción pero estoy atorado al momento de reducir. Agradezco mucho la atención.

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{2n}tan\left(\dfrac{i \pi}{2n+1}\right)=(-1)^n(2n+1) \)

Mensaje corregido desde la administración.

Usando el resultado y el método que se indica aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=98410.0

Puedes ver que:

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{\color{red}m-1\color{black}}sin\left(\dfrac{i \pi}{m}\right)=\dfrac{m}{2^{m-1}} \)

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{\color{red}m-1\color{black}}cos\left(\dfrac{i \pi}{m}\right)=(-1)^{(m-1)/2}\dfrac{1}{2^{m-1}} \) si \( m \) es impar (si es par da cero).

Sólo tienes que tomar \( m=2n+1 \) y dividir uno por otro.

Saludos.

CORREGIDO

07 Abril, 2021, 05:43 pm
Respuesta #2

Cobollatin

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Hola

Buen día, ¿alguno, de casualidad, conoce alguna literatura que me de un acercamiento a esta conjetura?
He intentado resolverlo por inducción pero estoy atorado al momento de reducir. Agradezco mucho la atención.

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{2n}tan\left(\dfrac{i \pi}{2n+1}\right)=(-1)^n(2n+1) \)

Mensaje corregido desde la administración.

Usando el resultado y el método que se indica aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=98410.0

Puedes ver que:

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{m}sin\left(\dfrac{i \pi}{m}\right)=\dfrac{m}{2^{m-1}} \)

\( \displaystyle\prod_{i=1}^{m}cos\left(\dfrac{i \pi}{m}\right)=(-1)^{(m-1)/2}\dfrac{1}{2^{m-1}} \) si \( m \) es impar (si es par da cero).

Sólo tienes que tomar \( m=2n+1 \) y dividir uno por otro.

Saludos.

Tan sencillo como eso. No tenia idea de esos resultados. Muchas gracias!
Edit.: Creo que el super índice de la productoria que pusiste debe ser m-1

07 Abril, 2021, 06:11 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Edit.: Creo que el super índice de la productoria que pusiste debe ser m-1

Si, lo he corregido.

Saludos.