Autor Tema: Demostrar que todo entero positivo se puede escribir como suma de potencias de 2

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04 Abril, 2021, 10:52 pm
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Soofíaa

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" Si un entero n se descompone como suma de potencias de 2, entonces n+1 también. De esto se deduce que todo entero cumple esa propiedad"


Buen día, ¿me podrían ayudar a demostrar de forma corta y elegante este enunciado?, lo probé con inducción fuerte, sin embargo no estoy satisfecho con mi forma de hacerlo.

Un saludo.

04 Abril, 2021, 11:18 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Supongo que te refieres a suma de potencias de 2 distintas entre sí, porque si no es trivial.

Pon que \( n = 2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_1}+2^{e_0} \), donde podemos suponer que \( e_n>e_{n-1}>\cdots > e_1>e_0 \).

Si \( e_0\neq 0 \), entonces una expresión de \( n+1 \) como potencias de \( 2 \) es:

\( n+1 =  2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_1}+2^{e_0}+2^0 \)

Si \( e_0=0 \), sea \( k \) el mínimo natural que no aparece entre los \( e_i \), de modo que

\( e_0=0, e_1 = 1, \ldots, e_{k-1}=k-1 \), pero, o bien \( n=k-1 \) y no hay más exponentes, o bien \( e_k>k \). Entonces, como

\( 1+2+2^2\cdots + 2^{k-1} = 2^k-1 \),

tenemos que

\( n+1 =  [2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_k}]+ 2^k-1 +1 =  [2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_k}]+ 2^k \),

donde la parte entre corchetes será \( 0 \) si es que \( n=k-1 \).

05 Abril, 2021, 01:23 am
Respuesta #2

Soofíaa

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Estimado, los e serían cualquier exponente arbitrario? un saludo y gracias

05 Abril, 2021, 01:24 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Estimado, los e serían cualquier exponente arbitrario? un saludo y gracias

Sí, claro, son exponentes arbitrarios, que podemos suponer ordenados decrecientemente.