Autor Tema: Demostrar $$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x)dx$$

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04 Abril, 2021, 09:51 pm
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franma

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Buenas,

Hace rato estoy batallando con esta demostración.

Probar que:
\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x)dx \)

Seria lo siguiente:
Sea \( h=a+b-x \) y \( dx=-dh \) por lo que cuando \( x=a \longrightarrow h=b \) y cuando \( x=b \longrightarrow h=a \)

Entonces:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-x) = -\displaystyle\int_{b}^{a}f(h)dh =  \displaystyle\int_{a}^{b}f(h)dh=  \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \)

La verdad no me termina de convencer la prueba, en todos los foros que busque esta es la única respuesta que dan.
Me gustaría saber que opinan de la misma y saber si tienen algún otra manera de demostrar esto, tal vez con sumas superiores e inferiores igualando particiones.

Saludos,
Franco.

Edit: Hacer el titulo mas descriptivo del problema en cuestión.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

05 Abril, 2021, 03:33 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola franma, no sé qué parte de la demostración no te convence, es sólo un cambio de variables.
Si no te convence es porque no estás entendiendo algo.

Seguro que se puede demostrar con la definición de integral (sumas superiores e inferiores), pero la idea siempre es utilizar los teoremas que conoces para hacer deducciones a partir de ahí, y no tener que redescubrir la rueda en cada problema.

05 Abril, 2021, 06:58 am
Respuesta #2

Masacroso

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Usando sumas de Riemann hay una forma de verlo muy claro, y es utilizando particiones de tamaño de malla constante, es decir, si dividimos \( [a,b] \) en \( n \) intervalos de la misma longitud vas a ver que la sumas superiores (y las inferiores) son exactamente las mismas utilizando la función \( x\mapsto f(x) \) o la función \( x\mapsto f(a+b-x) \).

Si no te convence la demostración es porque no te convence el teorema de cambio de variable, así que quizá deberías repasar su demostración hasta que te convenza totalmente. Básicamente el cambio de variable es consecuencia del teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena, es decir, si \( u:[a,b]\to \mathbb{R} \) es una función derivable cuya derivada es continua y \( F \) es una primitiva de \( f \) (asumimos que \( f \) es continua), entonces observa que

\( \displaystyle{
\int_{u(a)}^{u(b)}f(x)\mathop{}\!d x=F(u(b))-F(u(a)) =(F\circ u)(b)-(F\circ u)(a)\tag1
} \)

Y de la regla de la cadena tenemos que \( (F\circ u)'(x)=[F(u(x))]'=F'(u(x)) u'(x)=f(u(x))u'(x)=(f\circ u)(x) u'(x) \) (ya que \( F'=f \)), es decir que la función \( x\mapsto (F\circ u)(x) \) es una primitiva de la función \( x\mapsto (f\circ u)(x) u'(x) \). Por tanto tenemos que

\( \displaystyle{
(F\circ u)(b)-(F\circ u)(a)=\int_{a}^b (f\circ u)(x)u'(x)\mathop{}\!d x\tag2
} \)

Entonces de (1) y (2) nos queda finalmente que

\( \displaystyle{
\int_{u(a)}^{u(b)}f(x)\mathop{}\!d x=\int_{a}^b (f\circ u)(x)u'(x)\mathop{}\!d x\tag3
} \)

Por tanto cuando se cumplen las condiciones del cambio de variable estás usando (3).

Se puede demostrar, aunque es algo más complicado, que (3) también se cumple cuando \( f \) es discontinua (pero Riemann-integrable), ya que en ese caso podemos demostrar que la derivada de \( F(x):=\int_c^x f(t)\,dt \) existe y es igual a \( f \) en casi todos los puntos. El "casi todos los puntos" tiene un significado preciso, pero de momento creo que te basta con saber que el teorema es cierto y arriba tienes la demostración para el caso de que \( f \) sea continua.

05 Abril, 2021, 09:33 am
Respuesta #3

hméndez

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Buenas,

Hace rato estoy batallando con esta demostración.

Probar que:
\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x)dx \)

Seria lo siguiente:
Sea \( h=a+b-x \) y \( dx=-dh \) por lo que cuando \( x=a \longrightarrow h=b \) y cuando \( x=b \longrightarrow h=a \)

Entonces:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-x) = -\displaystyle\int_{b}^{a}f(h)dh =  \displaystyle\int_{a}^{b}f(h)dh=  \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \)

La verdad no me termina de convencer la prueba, en todos los foros que busque esta es la única respuesta que dan.
Me gustaría saber que opinan de la misma y saber si tienen algún otra manera de demostrar esto, tal vez con sumas superiores e inferiores igualando particiones.

Saludos,
Franco.

Edit: Hacer el titulo mas descriptivo del problema en cuestión.

Aquí te dejo un argumento geométrico a ver si te vale   ;)

La gráfica de \(  f(a+b-x)  \) se obtiene de la gráfica de \(  f(x) \)  reflejando esta respecto al eje de las ordenadas
y luego trasladándola \( a+b \) unidades hacia la derecha. Esto deja una simetría de las regiones de integración  respecto
a la recta \(  x=\displaystyle\frac{a+b}{2} \). de lo cual es fácil concluir que las integrales que se comparan son equivalentes.

Saludos

05 Abril, 2021, 12:56 pm
Respuesta #4

franma

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Buenas,

Gracias a todos por sus aportes.
Realmente no le termino de entender al cambio de variable y es que recién estamos empezando en Calculo de una variable, por lo que todavía no vimos métodos con primitivas y por lo tanto no vimos formalmente el teorema fundamental el calculo.

Hasta el momento hemos trabajado con sumas superiores e inferiores pero no se me ha logrado ocurrir una buena prueba para lo que propone el titulo con las herramientas que tengo hasta el momento.

Si llego a una demostración o quasi-demostración volverle con mis resultados a ver si están bien y ver que se podría mejorar.

Que tengan un buen inicio de jornada.
Saludos,
Franco
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05 Abril, 2021, 02:38 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hasta el momento hemos trabajado con sumas superiores e inferiores pero no se me ha logrado ocurrir una buena prueba para lo que propone el titulo con las herramientas que tengo hasta el momento.

Pero con sumas superiores e inferiores es también muy inmediato. Basta que tengas en cuenta que:

1) \( \{x_0,x_1,\ldots,x_n\} \) es una partición de \( [a,b] \) si y sólo si \( \{a+b-x_n,a+b+x_{n-1},\ldots,a+b-x_0\} \) es una partición de \( [a,b] \). Ambas tienen el mismo diámetro.

2) Si \( M_i=sup\{f(x)|x\in [x_{i-1},x_i]\} \) entonces también \( M_i=sup\{f(a+b-x)|x\in [a+b-x_i,a+b-x_{i+1}]\} \)

3) Lo análogo a (2) para el ínfimo.

Con esto es fácil montar la demostración con sumas superiores e inferiores.

Saludos.

05 Abril, 2021, 03:19 pm
Respuesta #6

franma

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Buenas,

Hola

Hasta el momento hemos trabajado con sumas superiores e inferiores pero no se me ha logrado ocurrir una buena prueba para lo que propone el titulo con las herramientas que tengo hasta el momento.

Pero con sumas superiores e inferiores es también muy inmediato. Basta que tengas en cuenta que:

1) \( \{x_0,x_1,\ldots,x_n\} \) es una partición de \( [a,b] \) si y sólo si \( \{a+b-x_n,a+b+x_{n-1},\ldots,a+b-x_0\} \) es una partición de \( [a,b] \). Ambas tienen el mismo diámetro.

2) Si \( M_i=sup\{f(x)|x\in [x_{i-1},x_i]\} \) entonces también \( M_i=sup\{f(a+b-x)|x\in [a+b-x_i,a+b-x_{i+1}]\} \)

3) Lo análogo a (2) para el ínfimo.

Con esto es fácil montar la demostración con sumas superiores e inferiores.

Saludos.

Sea g(x) = f(a+b-x)
Sea P una partición de [a,b] genérica de la forma \( \{x_0,x_1,\ldots,x_n\} \) y Q una partición de [a,b] genérica de la forma \( \{a+b-x_n,a+b+x_{n-1},\ldots,a+b-x_0\} \)

Por lo que 
S*(f, P) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{sup({f,[x_{i−1},x_{i}])}}} \)
S*(g, P) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{[(a+b-x_{i-1}) - (a+b - x_{i})]\cdot{sup({g,[a+b-x_{i−1},a+b-x_{i}])}}} \)

Entonces
S*(f, P) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{M_{i}}} \)
S*(g, Q) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{[(a+b-x_{i-1}) - (a+b - x_{i})]\cdot{M_{i}}} \)

\( \cancel{a+b}-x_{i-1} - \cancel{a+b} - x_{i} \longrightarrow -x_{i-1}+x_{i} = x_{i}-x_{i-1} \)

Entonces
S*(f, P) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{M_{i}}} \)
S*(g, Q) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{M_{i}}} \)

Analogo para las sumas inferiores, por lo que si sus sumas inferiores y superiores son iguales las integrales tambien por lo que concluyo:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) = \int_{a}^{b}g(x) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-x) \)

Es correcto?

Saludos,
Franco
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05 Abril, 2021, 08:31 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Sea g(x) = f(a+b-x)
Sea P una partición de [a,b] genérica de la forma \( \{x_0,x_1,\ldots,x_n\} \) y Q una partición de [a,b] genérica de la forma \( \{a+b-x_n,a+b+x_{n-1},\ldots,a+b-x_0\} \)

Por lo que 
S*(f, P) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{sup({f,[x_{i−1},x_{i}])}}} \)
S*(g, P) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{[(a+b-x_{i-1}) - (a+b - x_{i})]\cdot{sup({g,[a+b-x_{i−1},a+b-x_{i}])}}} \)

Entonces
S*(f, P) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{M_{i}}} \)
S*(g, Q) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{[(a+b-x_{i-1}) - (a+b - x_{i})]\cdot{M_{i}}} \)

\( \cancel{a+b}-x_{i-1} - \cancel{a+b} - x_{i} \longrightarrow -x_{i-1}+x_{i} = x_{i}-x_{i-1} \)

Entonces
S*(f, P) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{M_{i}}} \)
S*(g, Q) \( =\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{M_{i}}} \)

Analogo para las sumas inferiores, por lo que si sus sumas inferiores y superiores son iguales las integrales tambien por lo que concluyo:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) = \int_{a}^{b}g(x) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-x) \)

Es correcto?

Está bien. La idea es esa. En todo caso todo depende de cuanto quieras detallar y precisar la afirmación que he marcado en rojo.

Saludos.

05 Abril, 2021, 08:54 pm
Respuesta #8

franma

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Buenas,

Partiendo de que f es integrable.
Sea I el conjunto de todas las sumas inferiores de f y T el conjunto de todas sus sumas superiores.
Como f es integrable entonces \( sup(I)=inf(T) \).
Si las sumas superiores de f son de la forma:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{M_{i}}} \)
Y esto es igual a las sumas superiores de g, puedo concluir que los conjuntos son iguales (las sumas superiores de f y g) y por lo tanto sus supremos también.
Realizando un razonamiento análogo se puede llegar a que las sumas inferiores son iguales y sus ínfimos también.

Ahora como f es integrable ese valor de ínfimo y supremo existe y es el valor de la integral deseada.

Es valido ahora concluir esto?
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) = \int_{a}^{b}g(x) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-x) \)

Espero no haberme enredado y haber aclarado un poco mas lo que quería decir.

Saludos,
Franco.
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06 Abril, 2021, 12:02 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Partiendo de que f es integrable.
Sea I el conjunto de todas las sumas inferiores de f y T el conjunto de todas sus sumas superiores.
Como f es integrable entonces \( sup(I)=inf(T) \).
Si las sumas superiores de f son de la forma:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-x_{i-1})\cdot{M_{i}}} \)
Y esto es igual a las sumas superiores de g, puedo concluir que los conjuntos son iguales (las sumas superiores de f y g) y por lo tanto sus supremos también.
Realizando un razonamiento análogo se puede llegar a que las sumas inferiores son iguales y sus ínfimos también.

Ahora como f es integrable ese valor de ínfimo y supremo existe y es el valor de la integral deseada.

Es valido ahora concluir esto?
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) = \int_{a}^{b}g(x) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-x) \)

Espero no haberme enredado y haber aclarado un poco mas lo que quería decir.

De acuerdo.

Saludos.