Autor Tema: Factores integrantes

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04 Abril, 2021, 12:21 am
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mg

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Hola,

Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

Un saludo.

04 Abril, 2021, 01:20 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola:
Hola,

Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

Un saludo.
Si no pones la edo no te puedo ayudar.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

04 Abril, 2021, 05:45 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

No existe ninguna regla fija. Un primer apartado de los problemas suele pedir demostrar que una ecuación dada tiene un factor integrante en donde se da la forma de \( \mu (x,y) \). Si no se da tal forma, puedes proceder como en

        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=33520.msg131971#msg131971
        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=85414.msg342776#msg342776

aunque como verás, insisto, no hay regla fija.

04 Abril, 2021, 04:32 pm
Respuesta #3

mg

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Hola,

Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

Un saludo.
Si no pones la edo no te puedo ayudar.

Saludos.

La EDO que estaba intentando cuando me vino la duda es la siguiente:
\( t(1-y)+(t^2+y)y'=0 \),
Conozco la solución porque sale en el solucionario, pero me gustaría ver como razonan para llegar a saber a qué equivale la función \( /mu(x,y) \) anteriormente mencionada.

04 Abril, 2021, 04:38 pm
Respuesta #4

mg

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Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

No existe ninguna regla fija. Un primer apartado de los problemas suele pedir demostrar que una ecuación dada tiene un factor integrante en donde se da la forma de \( \mu (x,y) \). Si no se da tal forma, puedes proceder como en

        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=33520.msg131971#msg131971
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aunque como verás, insisto, no hay regla fija.

He visto los ejemplos que has mandado. Ahora bien, por ejemplo para el primero en el que sale que \( z=x-y \), es algo que intuyes imagino ¿no?. ¿O estudias acaso, algo del tipo,  \( z=ax+by \) por ejemplo?


04 Abril, 2021, 06:25 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

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He visto los ejemplos que has mandado. Ahora bien, por ejemplo para el primero en el que sale que \( z=x-y \), es algo que intuyes imagino ¿no?. ¿O estudias acaso, algo del tipo,  \( z=ax+by \) por ejemplo?

Lo intuyo relativamente. Copio mi mensaje:

La ecuación dada \( Pdx+Qdy=0 \) no corresponde a los métodos usuales de resolución. Ahora bien, suponiendo que \( \mu=\mu(z) \) sea un factor integrante de la ecuación (reservamos la elección de \( z=z(x,y) \) para el final), tenemos:

        \( \displaystyle\frac{\mu'(z)}{\mu(z)}=...=\displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{(1+xy^3)z_x+(1+x^3y)z_y} \). Eligiendo \( z=x-y \) obtenemos que: \( \displaystyle\frac{\mu'(z)}{\mu(z)}=...=\displaystyle\frac{-3}{y-x}=\displaystyle\frac{3}{z} \)

lo cual prueba que la ecuación dada tiene un factor integrante que depende de \( z=x-y \).

Fíjate que para \( z_x=1 \) y \( z_y=-1 \) queda

        \( \displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{(1+xy^3)z_x+(1+x^3y)z_y}=\displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{xy(y^2-x^2)}=\displaystyle\frac{3}{x-y} \)

con lo cual basta elegir \( z=x-y \).

05 Abril, 2021, 02:37 pm
Respuesta #6

mg

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He visto los ejemplos que has mandado. Ahora bien, por ejemplo para el primero en el que sale que \( z=x-y \), es algo que intuyes imagino ¿no?. ¿O estudias acaso, algo del tipo,  \( z=ax+by \) por ejemplo?

Lo intuyo relativamente. Copio mi mensaje:

La ecuación dada \( Pdx+Qdy=0 \) no corresponde a los métodos usuales de resolución. Ahora bien, suponiendo que \( \mu=\mu(z) \) sea un factor integrante de la ecuación (reservamos la elección de \( z=z(x,y) \) para el final), tenemos:

        \( \displaystyle\frac{\mu'(z)}{\mu(z)}=...=\displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{(1+xy^3)z_x+(1+x^3y)z_y} \). Eligiendo \( z=x-y \) obtenemos que: \( \displaystyle\frac{\mu'(z)}{\mu(z)}=...=\displaystyle\frac{-3}{y-x}=\displaystyle\frac{3}{z} \)

lo cual prueba que la ecuación dada tiene un factor integrante que depende de \( z=x-y \).

Fíjate que para \( z_x=1 \) y \( z_y=-1 \) queda

        \( \displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{(1+xy^3)z_x+(1+x^3y)z_y}=\displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{xy(y^2-x^2)}=\displaystyle\frac{3}{x-y} \)

con lo cual basta elegir \( z=x-y \).

Ah vale. Muchas gracias, me ha ayudado mucho de verdad.

Un saludo.