Autor Tema: Integral

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29 Marzo, 2021, 06:55 pm
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carambola

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Como resolver la siguiente integral

$$\displaystyle\int \sqrt{\frac{2+3x}{x-3}}$$

Gracias!

29 Marzo, 2021, 07:53 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Como \( \displaystyle \dfrac{2+3x}{x-3} = \dfrac{3x-9 + 11}{x-3} = 3+\dfrac{11}{x-3}  \)
Hacemos:
\( t^2 = 3+\dfrac{11}{x-3} \) entonces \( \dfrac{t^2-3}{11} = \dfrac{1}{x-3} \) que nos da:
\( \dfrac{2t}{11} \ dt = -\dfrac{1}{(x-3)^2} \ dx = -(\dfrac{t^2-3}{11})^2 \ dx  \)

Queda:
\( -22\dfrac{2t}{(t^2-3)^2} \ dt =  dx  \)

\( \displaystyle \int \sqrt{\dfrac{2+3x}{x-3}} = -22 \cdot \int \dfrac{2 \cdot t \cdot |t| }{(t^2-3)^2} \ dt  \)

\(  t > 0 \) si \(  x \in ]-\infty , -\dfrac{2}{3}] \cup ]3,+\infty[  \)

Función racional.

29 Marzo, 2021, 07:55 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Hola:
Como resolver la siguiente integral

$$\displaystyle\int \sqrt{\frac{2+3x}{x-3}}$$

Gracias!

Si haces el cambio:

\( \left({\displaystyle\frac{2+3x}{x-3}}\right)=u^2\Leftrightarrow{}x=\displaystyle\frac{2+3u\color{red}^2\color{blakc}}{u^2-3} \)

Obtienes una integral racional que puedes resolver descomponiendo en factores simples.

Saludos.

P.D.: Se me adelanto Juan Pablo.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

29 Marzo, 2021, 08:34 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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16 Abril, 2021, 11:20 pm
Respuesta #4

NoelAlmunia

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Hola:
Como resolver la siguiente integral

$$\displaystyle\int \sqrt{\frac{2+3x}{x-3}}$$

Gracias!

Si haces el cambio:

\( \left({\displaystyle\frac{2+3x}{x-3}}\right)=u^2\Leftrightarrow{}x=\displaystyle\frac{2+3u}{u^2-3} \)

Obtienes una integral racional que puedes resolver descomponiendo en factores simples.

Saludos.

P.D.: Se me adelanto Juan Pablo.

No entiendo que quisiste hacer, pero creo que es más factible sacarla empleando un cambio de variables y luego arroja una diferencial binomia.
Creo que puedo hacerla, la resuelvo y el lunes la escribo.
Saludos.

17 Abril, 2021, 08:24 am
Respuesta #5

robinlambada

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Hola:
Como resolver la siguiente integral

$$\displaystyle\int \sqrt{\frac{2+3x}{x-3}}$$

Gracias!

Si haces el cambio:

\( \left({\displaystyle\frac{2+3x}{x-3}}\right)=u^2\Leftrightarrow{}x=\displaystyle\frac{2+3u}{u^2-3} \)

Obtienes una integral racional que puedes resolver descomponiendo en factores simples.

Saludos.

P.D.: Se me adelanto Juan Pablo.

No entiendo que quisiste hacer, pero creo que es más factible sacarla empleando un cambio de variables y luego arroja una diferencial binomia.
Creo que puedo hacerla, la resuelvo y el lunes la escribo.
Saludos.
Faltaba un exponente 2, ya está añadido.
Es el mismo cambio de variable que ha hecho Juan Pablo.

Como \( \displaystyle \dfrac{2+3x}{x-3} = \dfrac{3x-9 + 11}{x-3} = 3+\dfrac{11}{x-3}  \)
Hacemos:
\( t^2 = 3+\dfrac{11}{x-3} \) entonces \( \dfrac{t^2-3}{11} = \dfrac{1}{x-3} \) que nos da:
\( \dfrac{2t}{11} \ dt = -\dfrac{1}{(x-3)^2} \ dx = -(\dfrac{t^2-3}{11})^2 \ dx  \)

Queda:
\( -22\dfrac{2t}{(t^2-3)^2} \ dt =  dx  \)

\( \displaystyle \int \sqrt{\dfrac{2+3x}{x-3}} = -22 \cdot \int \dfrac{2 \cdot t \cdot |t| }{(t^2-3)^2} \ dt  \)

\(  t > 0 \) si \(  x \in ]-\infty , -\dfrac{2}{3}] \cup ]3,+\infty[  \)

Función racional.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

19 Abril, 2021, 03:39 pm
Respuesta #6

NoelAlmunia

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Comenzaré por el primer cambio de variables:
\( 2+3x=t \); \( 3dx=dt \); \( dx=\displaystyle\frac{1}{3}dt \)
\( x=\displaystyle\frac{t-2}{3} \)

\( I=\displaystyle\int \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2+3x}{x-3}}\,dx=\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\int \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3t}{t-11}}\,dt=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\int t^{1/2}\left(-11+t\right)^{-1/2}\,dt \)
\( I=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\int t^{1/2}\left\{t\left(-11\,t^{-1}+1\right)\right\}^{-1/2}\,dt=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\displaystyle\int \left(-11\,t^{-1}+1\right)^{-1/2}\,dt \)

Haciendo el segundo cambio de variable:
\( \left(-11\,t^{-1}+1\right)=k^2 \)   \( \longrightarrow \)   \( t^{-1}=\displaystyle\frac{1-k^2}{11} \)
\( 11\,t^{-2}\,dt=2k\,dk \)
\( dt=\displaystyle\frac{2k}{11\,t^{-2}}\,dk=22\,\displaystyle\frac{k\,dk}{\left(1-k^2\right)^2} \)

\( I=\left(\displaystyle\frac{22\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\displaystyle\int \displaystyle\frac{dk}{\left(1-k^2\right)^2} \)

*** Empleando la fórmula recursiva de la integral: \( \displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\left(a^2\pm{x^2}\right)^{n+1}}=\displaystyle\frac{x}{2na^2\,\left(a^2\pm{x^2}\right)^{n}}+\displaystyle\frac{2n-1}{2na^2}\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\left(a^2\pm{x^2}\right)^{n}} \), la cual se deduce mediante integración por partes.

\( I=\left(\displaystyle\frac{22\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\displaystyle\int \displaystyle\frac{dk}{\left(1-k^2\right)^2}=\displaystyle\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(\displaystyle\frac{k}{1-k^2}\right)+\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\int \displaystyle\frac{dk}{\left(1-k^2\right)}=\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(\displaystyle\frac{k}{1-k^2}\right)-\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\int \displaystyle\frac{dk}{\left(k^2-1\right)} \)
\( I=\displaystyle\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(\displaystyle\frac{k}{1-k^2}\right)-\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{6}\right)\,\ln\left|\displaystyle\frac{k-1}{k+1}\right|+C \)

Retornando a la variable \( t \): \( k^2=\displaystyle\frac{t-11}{t} \)
\( I=\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(t\,\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t-11}{t}}\right)-\displaystyle\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{6}\right)\,\ln\left|\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t-11}{t}}-1}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t-11}{t}}+1}\right|+C \)

Retornando a la variable \( x \): \( t=2+3x \)
\( I=\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}\right)\,\left(2+3x\right)\,\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3x-9}{2+3x}}-\displaystyle\left(\frac{11\,\sqrt[ ]{3}}{6}\right)\,\ln\left|\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3x-9}{2+3x}}-1}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3x-9}{2+3x}}+1}\right|+C \)

Comprobando la solución de esta integral con Mathcad 15, se obtiene una solución equivalente.
Adjunto la respuesta que entrega Mathcad con una comprobación numérica.

Saludos.