Autor Tema: Existencia de solución periódica.

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29 Marzo, 2021, 02:34 am
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S.S

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola a todos. Tengo lo siguiente:

Sea \( A(t) \) continua en \( I=[0,S] \).
Si \( x^{\prime}=A(t)x \) tiene solución única nula de periodo \( S \), entonces para cada función \( \color{red}continua \) \( b(t) \) existe una única solución \( \phi_{b} \) de periodo \( S \) de \( x^{\prime}=A(t)x + b(t) \).  Mas aún existe \( C \) positiva independiente de \( b \) tal que \( \left |{\phi_{b}}\right | \leq{C\left |{b}\right |} \).

Gracias.
\( \color{red}(corregido) \)

30 Marzo, 2021, 09:01 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sea \( A(t) \) continua en \( I=[0,S] \).
Si \( x^{\prime}=A(t)x \) tiene solución única nula de periodo \( S \), entonces para cada función \( b(t) \) existe una única solución \( \phi_{b} \) de periodo \( S \) de \( x^{\prime}=A(t)x + b(t) \).  Mas aún existe \( C \) positiva independiente de \( b \) tal que \( \left |{\phi_{b}}\right | \leq{C\left |{b}\right |} \).

 Falta alguna condición sobre \( b(t) \) para poder asegurar la existencia de solución.

 Si existe alguna, la unicidad viene de que restando dos soluciones \( \phi \) y \( \rho \) de \( x^{\prime}=A(t)x + b(t) \), su diferencia cumple la ecuación \( x^{\prime}=A(t)x \). Si la única solución de ésta es nula (por hipótesis) entonces esa diferencia es cero y las dos soluciones son la misma.

Saludos.

31 Marzo, 2021, 08:31 pm
Respuesta #2

S.S

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Hola Luis, gracias por la respuesta.
Si faltaba una condición de continuidad para \( b(t) \) que ya he corregido. Gracias de nuevo.