Autor Tema: ¿Función creciente en un intervalo, o no?

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30 Marzo, 2021, 04:45 pm
Respuesta #10

Juan Pablo Sancho

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Dibujarías puntitos por no ser continua en ningún punto excepto \( x=3 \) la idea era para que vieras una función que sólo es derivable en un punto y alrededor de ella es desastrosa, (por lo de la propiedad local).

Ten en cuenta que la función \( f \) es de la forma \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \).

Una forma de ver la derivada es:
Sea \( g(x) = x^2  \) donde \( x \in \mathbb{R}  \) entonces dado \( \epsilon > 0 \) existe \( \lambda_1 > 0 \) tal que si \(  0 < |x-3| < \lambda_1  \) entonces \( |\dfrac{g(x)-g(3)}{x-3} - 6| < \epsilon  \)

Sea \( k(x) = 6 \cdot (x-3) +9   \) donde \( x \in \mathbb{R}  \) entonces dado \( \epsilon > 0 \) existe \( \lambda_2 > 0 \) tal que si \(  0 < |x-3| < \lambda_2  \) entonces \( |\dfrac{k(x)-k(3)}{x-3} - 6| < \epsilon  \)

Toma ahora \( \lambda = min(\lambda_1 , \lambda_2) \) para \( f \) pero pasa de esta función, sólo era para que vieras que la derivada es una propiedad local y no se puede extender a un intervalo.

30 Marzo, 2021, 10:46 pm
Respuesta #11

Marcos Castillo

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¡Magnífico! Puedo seguir adelante. Esta asignatura me va a llevar mucho tiempo, me temo, pero la estoy disfrutando. ¡Muchas gracias, feriva, Juan Pablo Sancho!.
Un saludo.
No man is an island (John Donne)