Autor Tema: ¿Función creciente en un intervalo, o no?

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28 Marzo, 2021, 05:40 am
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Marcos Castillo

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Hola, qué tal, RM

Tengo un texto que me desconcierta. Creo que hay dos erratas. Lo escribo, y intercalo las dudas:

"TEOREMA 12 Sea \( J \) un intervalo abierto, y sea \( I \) un intervalo que contiene a todos los puntos de \( J \), y posiblemente uno de sus extremos, o ambos. Sea \( f \) una función continua en \( I \) y diferenciable en \( J \).

(a) Si \( f'(x)>0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es creciente en \( I \).

(b) Si \( f'(x)<0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es decreciente en \( I \).

(c) Si \( f'(x)\geq 0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es no decreciente en \( I \).

(d) Si \( f'(x)\leq 0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es no creciente en \( I \).

(...)

Observación A pesar de lo que dice el Teorema 12, \( f'(x_0)>0 \) en un solo punto \( x_0 \) no implica que la función sea creciente en cualquier intervalo que contenga a \( x_0 \). Véase el Ejercicio 20 al final de esta sección, donde se presenta un contraejemplo."

Primera duda: el Teorema 12 no afirma que si  \( f'(x_0)>0 \) en un solo punto \( x_0 \), eso implique que la función sea creciente en cualquier intervalo que contenga a \( x_0 \).

El texto llega al ejercicio que creo que menciona:

"*20. Sea \(  f(x) = \left \{ \begin{matrix} x+2x^2\sin{(1/x)} & \mbox{si }\;x\neq 1
\\ 0 & \mbox{si }\;x=0\end{matrix}\right. \)

(a) Demuestre que \( f'(0)=1 \) (Sugerencia:Utilice la definición de derivada)

(b) Demuestre que todo intervalo que contenga a \( x=0 \) contiene también puntos en los que \( f'(x)<0 \), por lo que \( f \) no puede se creciente en ese intervalo."

Duda: he dibujado la función y su derivada en Geogebra, y la función es creciente en un entorno próximo a \( x_0=0 \)



Mi conclusión personal: esto no es un contraejemplo del Teorema 12. Es un enriquecedor apunte. Pero no sé si estoy metiendo la pata: he usado Geogebra, y se trata de una impresión visual. No he hecho ningún cálculo, como sugiere el libro.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

28 Marzo, 2021, 09:53 am
Respuesta #1

feriva

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Mi conclusión personal: esto no es un contraejemplo del Teorema 12. Es un enriquecedor apunte. Pero no sé si estoy metiendo la pata: he usado Geogebra, y se trata de una impresión visual. No he hecho ningún cálculo, como sugiere el libro.

¡Un saludo!

Hola, Marcos. Paso rápido, tampoco he calculado nada; pero me da la sensación de que lo que ocurre es que la resolución no es suficiente para mostrar las subidas y bajadas, parece una recta, sí, pero... la resolución no es infinita.
Cuando vuelva te pongo un ejemplo con una gráfica (que no tiene nada que ver con esto) donde la falta de resolución hace que parezca una cosa que no es.

Saludos.

28 Marzo, 2021, 10:19 am
Respuesta #2

Marcos Castillo

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28 Marzo, 2021, 10:50 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Tienes que si \( x = \dfrac{1}{2\pi \cdot n + \pi} \) con \( n\in \mathbb{N}  \) tenemos
\( f'(x) = 3  \)
Si \( x = \dfrac{1}{2\pi\cdot n}  \) tenemos:
\( f'(x) = -1 \)
Te pongo una gráfica de la derivada:


Este es un ejemplo en que la gráfica puede engañar y es el uso de la derivada la que ayuda ha ver el problema.



28 Marzo, 2021, 12:03 pm
Respuesta #4

feriva

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¡Gracias, feriva!
Un saludo

Da nada, te pongo el ejemplo en spoiler, porque es una gráfica de puntos, una cosa distinta que matemáticamente tiene poco que ver, pero pasa lo mismo con la resolución.

Spoiler
Mira estas gráficas de puntos. Representan primos que suman los pares desde 4 a 60, en la primera, y de 4 a 20000. En el eje x van las coordenadas de los pequeños y en el Y la de los grandes.
Naturalmente,no  pueden cubrir el plano (ni aunque el punto tuviera el tamaño de un píxel) porque la cantidad de puntos con coordendas enteras es finita y hay infinitos puntos con coordenadas no enteras. Además, dentro de los enteros, los puntos cuyas coordenadas son dos primos es una minoría muy pequeña, la inmensa mayoría son coordenadas de primo y compuesto.
Sin embargo, cuando llega hasta el par 20000, cubre todo de rojo sin dejar un hueco; y esto pasaría igual por muy pequeño que se dibujara el punto; si no llegando hasta 20000, hasta otro número más grande, pero enseguida lo cubriría. Cualquier “punto” dibujado es infinitamente grande en comparación con un punto matemático, que no tiene dimensión.





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Saludos

28 Marzo, 2021, 02:28 pm
Respuesta #5

Marcos Castillo

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¡Hola, feriva, Juan Pablo Sancho!

Tienes que si \( x = \dfrac{1}{2\pi \cdot n + \pi} \) con \( n\in \mathbb{N}  \) tenemos
\( f'(x) = 3  \)
Si \( x = \dfrac{1}{2\pi\cdot n}  \) tenemos:
\( f'(x) = -1 \)

Este es un ejemplo en que la gráfica puede engañar y es el uso de la derivada la que ayuda ha ver el problema.

Perfecto, pero, ¿por qué todo intervalo contiene \( x=0 \) en \( x=\{\dfrac{1}{3\pi},\dfrac{1}{5\pi},\dfrac{1}{7\pi}...\} \) por una parte, y en \( x=\{\dfrac{1}{2\pi},\dfrac{1}{4\pi},\dfrac{1}{6\pi}...\} \) por otra?.

Por otra parte, sigo sin ver por qué el Teorema 12 debe ser matizado con este contraejemplo: nunca se habla de derivadas en puntos concretos, sino en intervalos.

No sé si estoy preguntando más de lo que las reglas del RM recomiendan responder. Si estoy cayendo en ese error, decídmelo :-\

¡Un saludo!
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28 Marzo, 2021, 02:51 pm
Respuesta #6

Juan Pablo Sancho

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Te pongo cosas:

Este ejercicio es para puntualizar que la derivada en un punto es una propiedad local pero no global.
Si tienes un intervalo \( I \) y \( f \) es derivable en \( I \) con \( f'(x) \geq 0  \) para todo \( x \in I \) tienes que \( f \) es no decreciente en \(  I \) como indicas, estás pidiendo que sea derivable en todo ese intervalo, pero si f es derivable en \( I \) y en un punto  \( x_i \in I \) tienes que \( f'(x_i) > 0 \) tienes que la derivada en ese punto sólo da un propiedad local del punto no la puedes extender en general  a un pequeño intervalo que contenga al punto, por eso el teorema que mencionas necesita un intervalo para garantizar la monotonía en ese intervalo.
Incluso puedes tener que la función sólo sea derivable en un punto (pueda que así en este ejemplo en concreto lo veas mejor.
\( f(x) = x^2  \) si \(  x \in \mathbb{Q}  \)
\( f(x) = 6 \cdot (x-3) +9  \) si \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}  \)
Solo es derivable en \( x=3 \) y si dibujas la gráfica en un papel ves como bota alrededor del punto de derivación.

Para la primera pregunta que me haces si, ten en cuenta que la función derivada en los intervalos \( ]-\infty,0[  \) y \( ]0,+\infty[ \) es continua y cerca del cero la derivada toma valores negativos y positivos, por cada valor negativo que toma al ser continua existe un entorno de ese valor en que la derivada en negativa luego la función decreciente y cuando toma valores positivos alrededor de esos valores existirá un entorno en que la derivada será positiva y la función original será creciente.

No sé si estoy preguntando más de lo que las reglas del RM recomiendan responder. Si estoy cayendo en ese error, decídmelo :-\
¡Un saludo!
Para nada, pregunta la que  necesites.

29 Marzo, 2021, 06:25 am
Respuesta #7

Marcos Castillo

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Este ejercicio es para puntualizar que la derivada en un punto es una propiedad local pero no global.
Si tienes un intervalo \( I \) y \( f \) es derivable en \( I \) con \( f'(x) \geq 0  \) para todo \( x \in I \) tienes que \( f \) es no decreciente en \(  I \) como indicas, estás pidiendo que sea derivable en todo ese intervalo, pero si f es derivable en \( I \) y en un punto  \( x_i \in I \) tienes que \( f'(x_i) > 0 \) tienes que la derivada en ese punto sólo da un propiedad local del punto no la puedes extender en general  a un pequeño intervalo que contenga al punto, por eso el teorema que mencionas necesita un intervalo para garantizar la monotonía en ese intervalo.

Perfecto. Entendida la necesidad de presentar un contraejemplo.

Incluso puedes tener que la función sólo sea derivable en un punto (pueda que así en este ejemplo en concreto lo veas mejor.
\( f(x) = x^2  \) si \(  x \in \mathbb{Q}  \)
\( f(x) = 6 \cdot (x-3) +9  \) si \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}  \)
Solo es derivable en \( x=3 \) y si dibujas la gráfica en un papel ves como bota alrededor del punto de derivación.

¿Por qué \( f(x) = 6 \cdot (x-3) +9  \) si \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}  \) sólo es derivable en \( x=3 \)?

Para la primera pregunta que me haces si, ten en cuenta que la función derivada en los intervalos \( ]-\infty,0[  \) y \( ]0,+\infty[ \) es continua y cerca del cero la derivada toma valores negativos y positivos, por cada valor negativo que toma al ser continua existe un entorno de ese valor en que la derivada en negativa luego la función decreciente y cuando toma valores positivos alrededor de esos valores existirá un entorno en que la derivada será positiva y la función original será creciente.

La derivada de

\( f(x) = \left \{ \begin{matrix} x+2x^2\sin{(1/x)} & \mbox{si }\;x\neq 0 \\ 0 & \mbox{si }\;x=0\end{matrix}\right. \)

es

\( f(x) = \left \{ \begin{matrix} 4\sin{\left ({\dfrac{1}{x}}\right )}x-2\cos{\left ({\dfrac{1}{x}}\right )}+1 & \mbox{si }\;x\neq 0 \\ 1 & \mbox{si }\;x=0\end{matrix}\right. \)


Ahora el procedimiento es buscar derivadas de signos negativos en todo intervalo que contiene \( x=0 \). ¿Cómo has sabido que con \( x = \dfrac{1}{2\pi\cdot n} \), con \( n\in \mathbb{N} \) te acercabas a \( x=0 \) todo lo que quisieras? ¿por tanteo y luego buscando un patrón?; es decir, ¿buscando con la calculadora valores de \( f'(x) \) negativos, al azar, hasta terminar encontrando la expresión que los describía?.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

29 Marzo, 2021, 08:18 pm
Respuesta #8

Juan Pablo Sancho

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La función :
\( \displaystyle f =  \{ \begin{matrix} x^2 \ \ \ x \in \mathbb{Q}
\\ 6(x-3) + 9 \ \ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{matrix}    \)
Sólo tienes que dibujar , no hace falta graficarla  con ordenador, siempre es discontinua excepto en \( x =3 \) (dibujaras puntitos ...)

Por trigonometría se que \( \sen(x)  \) se anula en \(  x = n \cdot \pi  \) y en ese caso el coseno vale uno o menos uno y a la inversa cuando el seno vale uno o menos uno el coseno vale cero.

Cuando \( n \) se hace grande tenemos que \( x = \dfrac{1}{2 \pi n}  \) se hace pequeño.

30 Marzo, 2021, 04:15 pm
Respuesta #9

Marcos Castillo

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¡Perfecto, Juan Pablo Sancho, feriva!

f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases}

¿Hay alguna forma de graficar esta función en Geogebra?; tampoco sé cómo hacer la derivada. Me imagino que \( x^2 \), por estar definida en los racionales, no tiene derivada; y \( 6(x-3)+9 \), por estar definida en \( \mathbb R \setminus \mathbb Q \), tampoco. Juntas, y definidas en \( \mathbb R \), se encuentran en \( x=3 \).

¡Un saludo!

No man is an island (John Donne)