Autor Tema: Integrabilidad Riemann

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23 Marzo, 2021, 06:08 pm
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carambola

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como se demostraría lo siguiente?

Si f es una función fitada y par. Si f es integrable Riemann en [0,a], entonces también lo es en [-a,0]. Y la integral es la misma

Gracias

23 Marzo, 2021, 06:22 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Supongo que querías decir función acotada:
Tienes que \( f \) es integrable en \( [0,a] \) además es par \( f(-x) = f(x)  \)
Spoiler
\( \displaystyle \int_0^a f(x) \ dx = \int_0^a f(-x) \ dx =_{u = -x} =    -\int_0^{-a} f(u) \ du = \int_{-a}^0 f(u) \ du  \)
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23 Marzo, 2021, 07:33 pm
Respuesta #2

carambola

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Habría alguna manera de hacerlo con la definición de integrabilidad de Riemann

23 Marzo, 2021, 08:03 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Si es integrable Riemmann no hace falta pedir que sea acotada.
Justamente el ejercicio se basa en que uses que es par, para no tener que demostrarla por definición.

Pero por definición:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n f(a \cdot \dfrac{k}{n}) \cdot \dfrac{1}{n} =  \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n f(-a \cdot \dfrac{k}{n}) \cdot \dfrac{1}{n} =
 \lim_{n \to +\infty} -\sum_{k=1}^n f(-a \cdot \dfrac{k}{n}) \cdot \dfrac{-1}{n} = -\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n f(-a \cdot \dfrac{k}{n}) \cdot \dfrac{-1}{n}  \)