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22 Marzo, 2021, 04:46 pm
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carambola

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Como se calcularía el sguiente sumatorio y , su límite cuando n tiende a infinito

$$\displaystyle\sum_{i=1}^n{(e^{\frac{b}{n}i}\cdot \frac{b}{n})}$$

Graciass

22 Marzo, 2021, 05:09 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Como se calcularía el sguiente sumatorio y , su límite cuando n tiende a infinito

$$\displaystyle\sum_{i=1}^n{(e^{\frac{b}{n}i}\cdot \frac{b}{n})}$$

Tienes que:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(e^{\frac{b}{n}i}\cdot \frac{b}{n})}=
\dfrac{b}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n(e^{\frac{b}{n}})^i \)

Utiliza la fórmula de la suma de una sucesión geométrica:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^nr^i=\dfrac{r^{n+1}-r}{r-1} \)

Saludos.

22 Marzo, 2021, 05:25 pm
Respuesta #2

carambola

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Perfecto, muchas gracias. Y para calcular el límite al infinito?

22 Marzo, 2021, 06:11 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
Perfecto, muchas gracias. Y para calcular el límite al infinito?

Operando el sumatorio finito con la fórmula dada por Luis obtendrás   

        \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{e^{\frac{b}{n}i} \frac{b}{n}}=\ldots=b(e^b-1)\displaystyle\frac{e^{b/n}}{n(e^{b/n}-1)}. \)

Cuando \( n\to +\infty \) tienes en el denominador la expresión indeterminada \( (+\infty)\cdot 0. \) Para resolverla considera la función auxiliar

        \( f(x)=x(e^{b/x}-1)=\displaystyle\frac{e^{b/x}-1}{1/x} \)

y aplicando la regla de L'Hopital obtendrás \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=\ldots=b. \) Entonces,

        \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n{e^{\frac{b}{n}i} \frac{b}{n}}=b(e^b-1)\displaystyle\frac{1}{b}=e^b-1. \)

22 Marzo, 2021, 07:27 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
    Si no pidieran calcular la suma finita, puedes hallar el límite por Sumas de Riemann. Tenemos,

        \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n{e^{\frac{b}{n}i} \frac{b}{n}}=b\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{e^{\frac{b}{n}i} }\underbrace{=}_{f(x)=e^{bx}}b\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^nf\left(\frac{i}{n}\right) \)

        \( \displaystyle =b\int_0^1 e^{bx}dx=b\dfrac{1}{b}\left[e^{bx}\right]_0^1=e^b-1. \)