Autor Tema: Continuidad de la función compuesta

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21 Marzo, 2021, 09:48 pm
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Marcos Castillo

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Hola

El concepto de continuidad de la composición se me resiste en relación al hilo

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116229.0, titulado "Demostración de la Regla de la Cadena".


No me entusiasma de todo la notación usada por el libro, porque \( k \) depende de \( h \); al denotarlo con una letra sin más uno olvida esa relación y eso te está despistando.

Entonces:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))} \)

Y ahí se usan dos cosas:

- Por ser \( g \) continua en \( x \) se tiene que \( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}g(x+h)=g(x) \).
- Lo anterior unido al hecho de que \( \displaystyle\lim_{z \to{0}}{E(z)=0} \) sirve pare concluir que:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)



Me lío con la \( z \) como variable :-[ ¿Cómo se llega a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)?.

En general:

si \( \displaystyle\lim_{x \to a}{}f(x)=L  \) y \( \displaystyle\lim_{x \to b}{}g(x)=a \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to b}{}f(g(x))=L  \)

O en otra versión equivalente si \( f(x) \) es continua en \( a \) y \( g(x) \) es continua en \( b \) y \( g(b)=a \) entonces la función compuesta \( (f\circ g)(x) \) es continua en \( b \).

O dicho de una tercera forma: la composición de funciones continuas es continua.

Esto te lo tienen que haber demostrado antes de ir con la regla de la cadena.


Dudas: no es lo mismo el concepto de límite y el concepto de derivada. Por otra parte, hay tres variables independientes, \( z \), \( k \), y \( x \).

Cómo lo soluciono:

La ley de composición establece que si \( f(x)=g(h(x)) \)

-\( h \) es continua en \( x=a \) y

-\( g \) es continua en \( h(a) \)

entonces \( f \) es continua en \( x=a \)

En base a esta definición, hago lo siguiente.

1- \( g \) es continua en todo su dominio.

2- \( E \) es continua en \( z=0 \). Puedo llamar \( x \) a \( z \), por ser una variable independiente.

3- \( E(g) \) es continua en \( x=0 \)

\( \therefore{\displaystyle\lim_{x \to{0}}{E(g)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g)}}=0 \)

Es decir, en este caso el concepto de límite coincide con el de derivada.

¿Correcto?.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

21 Marzo, 2021, 10:11 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Si \( h \) es continua en \(  a  \) y \(  g  \) es continua en \( h(a) \).
Puedes hacer:
\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(h(x)) = \lim_{x \to a} g(h(a) + (h(x)-h(a)))  \).

O por definición:
Dado \( \epsilon > 0  \) existe un \( \lambda > 0 \) tal que si \(  |s-h(a)| < \lambda  \) entonces \( |g(s) - g(h(a)| < \epsilon  \) por ser \( g \) continua en \( h(a) \).

Por ser \( h  \) continua en \( a \) dado \( \lambda > 0  \) existe \(  \tau >0 \) tal que si \( |x-a| < \tau  \) entonces \( |h(x)-h(a)| < \lambda  \)

21 Marzo, 2021, 10:41 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 No estoy seguro de porqué has abierto otro hilo; mi percepción es que sigues sin tener claro el original.

Citar
Dudas: no es lo mismo el concepto de límite y el concepto de derivada.

 No, no es lo mismo.
 
Citar
Por otra parte, hay tres variables independientes, \( z \), \( k \), y \( x \).

 Yo me olvidaría de \( k \). Te comenté que no me gusta mucho esa notación; porque realmente en la demostración que presentaste NO es una variable INDEPENDIENTE. En todos los sitios donde aparezca \( k \) escribes \( g(x+h)-g(x) \) y te olvidas de \( k. \)

Citar
Cómo lo soluciono:

 No tengo claro que quieres solucionar.

Citar
\( \therefore{\displaystyle\lim_{x \to{0}}{E(g)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g)}}=0 \)

No calcules límites sin poner el nombre de la variable. Es confuso.

Realmente no estás trabajando con \( E\circ g \) es decir no estás trabajando con \( E(g(x)) \).

Estás trabajando con \( E(g(x+h)-g(x)) \) donde la variable es \( h \).

Las funciones que compones son \( E(z) \) y \( g(x+h)-g(x) \); si le pongo \( z \) a la variable de \( E \) es porque el \( x \) es un punto fijado en la demostración con la que estamos trabajando. Para no liar la notación.

 Entonces tienes \( E(z) \) es continua en \( z=0 \).

 \( g(x+h)-g(x) \) es continua en \( h=0 \) y \( g(x+0)-g(x)=0 \).

 Por tanto \( E(g(x+h)-g(x)) \) es continua en \( h=0 \) y así,

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{} E(g(x+h)-g(x))=E(g(x+0)-g(0))=E(0)=0 \)

Citar
Es decir, en este caso el concepto de límite coincide con el de derivada.

 No acabo de entender porqué dices eso.

Saludos.

22 Marzo, 2021, 03:24 pm
Respuesta #3

Marcos Castillo

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Si \( h \) es continua en \(  a  \) y \(  g  \) es continua en \( h(a) \).
Puedes hacer:
\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(h(x)) = \lim_{x \to a} g(h(a) + (h(x)-h(a)))  \).

O por definición:
Dado \( \epsilon > 0  \) existe un \( \lambda > 0 \) tal que si \(  |s-h(a)| < \lambda  \) entonces \( |g(s) - g(h(a)| < \epsilon  \) por ser \( g \) continua en \( h(a) \).

Por ser \( h  \) continua en \( a \) dado \( \lambda > 0  \) existe \(  \tau >0 \) tal que si \( |x-a| < \tau  \) entonces \( |h(x)-h(a)| < \lambda  \)

Perfecto.

Hola

 No estoy seguro de porqué has abierto otro hilo; mi percepción es que sigues sin tener claro el original.


:-[


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Por otra parte, hay tres variables independientes, \( z \), \( k \), y \( x \).

 Yo me olvidaría de \( k \). Te comenté que no me gusta mucho esa notación; porque realmente en la demostración que presentaste NO es una variable INDEPENDIENTE. En todos los sitios donde aparezca \( k \) escribes \( g(x+h)-g(x) \) y te olvidas de \( k. \)

Tienes razón. Había perdido el hilo.


Estás trabajando con \( E(g(x+h)-g(x)) \) donde la variable es \( h \).


¿La variable \( h \)?; ¿\( h \) no forma parte del cociente incremental?


Las funciones que compones son \( E(z) \) y \( g(x+h)-g(x) \); si le pongo \( z \) a la variable de \( E \) es porque el \( x \) es un punto fijado en la demostración con la que estamos trabajando. Para no liar la notación.


 Creo que esta es la clave que no entiendo. En el hilo "Demostración de la Regla de la Cadena" comienza así:


"Demostración de la Regla de la Cadena (Teorema 6)

Sea \( f \) una función derivable en el punto \( u=g(x) \) con \( g \) una función derivable en \( x \)


¿Es un punto o una función?

Entonces tienes \( E(z) \) es continua en \( z=0 \).

\( g(x+h)-g(x) \) es continua en \( h=0 \) y \( g(x+0)-g(x)=0 \).

Por tanto \( E(g(x+h)-g(x)) \) es continua en \( h=0 \) y así,

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{} E(g(x+h)-g(x))=E(g(x+0)-g(0))=E(0)=0 \)


Hay dos formas de expresar un límite: como cociente incremental (la derivada de una función), y como límite de una función cuando la variable independiente tiende a un real. ¿Cuál de las dos expresiones es la que se emplea?. Sé que es una derivada, pero al ver "es continua en \( h=0 \)", me confundo.  :banghead:

Paradójicamente, entiendo el concepto de función compuesta, y creo entender el concepto de continuidad en un punto, además del concepto de derivada.

¡Un saludo, y gracias, de verdad!
No man is an island (John Donne)

23 Marzo, 2021, 10:20 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola


Estás trabajando con \( E(g(x+h)-g(x)) \) donde la variable es \( h \).

¿La variable \( h \)?; ¿\( h \) no forma parte del cociente incremental?

Si; pero no estoy seguro de que quieres decir con eso. Lo que quiero resaltar ahí es que \( x \) es un punto fijo en la demostración. El punto donde calculamos la derivada; mientras que \( h \) es una variable que interviene en un determinado límite.


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"Demostración de la Regla de la Cadena (Teorema 6)

Sea \( f \) una función derivable en el punto \( u=g(x) \) con \( g \) una función derivable en \( x \)


¿Es un punto o una función?

Estas fijando un punto \( x \) donde calcularemos al derivada de la función compuesta \( (f\circ g) \) y a su vez \( u=g(x) \) es otro punto fijado imagen de \( x \) por \( g \).

A mi me gusta más escribir \( x_0 \) para enfatizar que ese punto es fijo. Es decir yo hubiera escrito:

Sea \( f \) una función derivable en el punto \( u_0=g(x_0) \) con \( g \) una función derivable en \( x_0 \)

Digo esto porque es fácil que uno por costumbre más adelante escriba "... la función \( g(x) \) bla, bla, bla..." y ahí nos referimos a la función, no al valor concreto de \( g \) en un punto concreto. Normalmente por el contexto no debería de haber confusión.

Aún así yo suelo huir de usar \( x \) para fijar un punto: mejor \( x_0 \) o por ejemplo \( a \).

Conste que todo esto es notación; y no tiene porque haber unanimidad de criterio. Lo que es claro para uno pudiera ser confuso para otro y viceversa.

Citar
Entonces tienes \( E(z) \) es continua en \( z=0 \).

\( g(x+h)-g(x) \) es continua en \( h=0 \) y \( g(x+0)-g(x)=0 \).

Por tanto \( E(g(x+h)-g(x)) \) es continua en \( h=0 \) y así,

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{} E(g(x+h)-g(x))=E(g(x+0)-g(0))=E(0)=0 \)


Hay dos formas de expresar un límite: como cociente incremental (la derivada de una función), y como límite de una función cuando la variable independiente tiende a un real. ¿Cuál de las dos expresiones es la que se emplea?. Sé que es una derivada, pero al ver "es continua en \( h=0 \)", me confundo.  :banghead:

Sigo sin entenderte. Si hablas de "un" límite en genérico nos perdemos. Supongo que te refieres a alguna expresión concreta que se usa en la demostración.

Ten en cuenta que en esa demostración se define:

\( E(k)=\dfrac{f(u+k)-f(u)}{k}-f'(u) \) (ahí \( k \) es una variable; \( u \) es fijo).

Entonces utilizamos un límite donde aparece la función \( E(k) \) (o \( E(z) \) ó \( E(m) \) ó \( E(w) \) ó \( E(\alpha) \)... ¡da igual el nombre de la variable!) que a su vez se define como un cierto cociente.

No hay que elegir si se usa un límite o un cociente.

Saludos.

23 Marzo, 2021, 07:17 pm
Respuesta #5

Marcos Castillo

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¡Lo tengo!¡Lo has conseguido, el_manco! Muchas gracias por tu paciencia. Ya te habrás fijado que el hilo ha degenerado poco a poco hasta terminar hablando de las nociones básicas sobre límites. Efectivamente, aquí no hay ninguna necesidad de debatir sobre el concepto de límite. En un libro de Bachiller que tengo introducen el concepto como "El número \( l \) es el límite de la función \( f \) en el punto \( a \) si, para cualquier \( \epsilon>0 \), existe algún \( \delta>0 \) de forma que, para todo \( x \) tal que \( 0<|x-a|\leq{\delta} \), se verifica que \( |f(x)-l|\leq{\epsilon} \)". Dos capítulos después definen la derivada así: "Sea \( f \) una función definida en un intervalo centrado en el punto \( a \), se dice que \( f \) es derivable en \( a \) cuando existe el límite

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \)

Si el límite existe, se denota como \( f'(a) \) y se llama derivada de \( f \) en \( a \)."

Tanto monta, monta tanto: "Sea \( f(x) \) definida al menos en un entorno del punto \( x_0\in\mathbb R \), diremos que \( f(x) \) es derivable en el punto \( x_0 \) si existe (y es finito) el límite:

\( f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0) \)

que recibe el nombre de la derivada de la función \( f(x) \) en el punto \( x_0 \)


 Lo que quiero resaltar ahí es que \( x \) es un punto fijo en la demostración. El punto donde calculamos la derivada; mientras que \( h \) es una variable que interviene en un determinado límite.



Estas fijando un punto \( x \) donde calcularemos al derivada de la función compuesta \( (f\circ g) \) y a su vez \( u=g(x) \) es otro punto fijado imagen de \( x \) por \( g \).




 Entonces tienes \( E(z) \) es continua en \( z=0 \).

\( g(x+h)-g(x) \) es continua en \( h=0 \) y \( g(x+0)-g(x)=0 \).

Por tanto \( E(g(x+h)-g(x)) \) es continua en \( h=0 \) y así,

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{} E(g(x+h)-g(x))=E(g(x+0)-g(0))=E(0)=0 \)




Ten en cuenta que en esa demostración se define:

\( E(k)=\dfrac{f(u+k)-f(u)}{k}-f'(u) \) (ahí \( k \) es una variable; \( u \) es fijo).

Entonces utilizamos un límite donde aparece la función \( E(k) \) (o \( E(z) \) ó \( E(m) \) ó \( E(w) \) ó \( E(\alpha) \)... ¡da igual el nombre de la variable!) que a su vez se define como un cierto cociente.

No hay que elegir si se usa un límite o un cociente.



Iba a preguntar esta tarde al profesor de la UNED, pero sinceramente, no lo habría hecho mejor.

Voy a intentar esforzarme más antes de publicar de nuevo. Tenía que haberlo entendido  :'(

¡Un abrazo fuerte! 
No man is an island (John Donne)