Autor Tema: ¿Qué matemáticas existen para establecer la órbita de un cohete?

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16 Marzo, 2021, 09:22 pm
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antoniosilvestrez

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Siempre me hubiese gustado entender por qué esos cálculos se antojan tan complejos
y en numerosas ocasiones fallan en el descenso de la órbita

16 Marzo, 2021, 11:38 pm
Respuesta #1

C. Enrique B.

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Eso, eso, yo ya me coloco en tercera fila para ver si este hilo se me ajusta.

No sé si pretendes ser muy específico o estás dipuesto a que el hilo sea abierto. Lo digo por acercarnos a tooodo ese mal entendimiento masivo sobre la Velocidad De Escape (la asssquerosa mala divulgación al respecto ... en fin, como casi todo el resto de divulgación que vaya más allá del 2+2=4 ... y aun ésa también), y el montonazo de temas propios (diversos) y adyacentes que están en torno a tu requerimiento.

Y digo -mientras llegan los entendidos-, ¿eso de los fallos en el descenso de la órbita a qué se refiere xxxactamente? ¿A los desplazamientos de descenso, voluntarios, o a las caídas de órbita progresivas y "naturales"?

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16 Marzo, 2021, 11:59 pm
Respuesta #2

Richard R Richard

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Hola, para la mayoría de las aplicaciones en cálculo de órbitas no es necesario utilizar más que la ley de gravitación universal de Newton. No tiene formulación demasiado compleja.
 
 \( F=\dfrac{GmM}{R^2} \)

 
 Edito , algunas otras consideraciones como conservación del momento angular y la energía mecánica también son necesarias... pero nada muy complicado que necesite grado especial en matemáticas para entenderlo.
 la energía mecánica de una masa en movimiento sometida a un campo gravitacional es
 
 \( Em=\frac 12 mv_R^2+\dfrac{L^2}{2mR^2}-\dfrac{GMm}{R} \)
 
 y cualquier aporte de energía  por cohetes provoca un cambio en la energía de esa órbita \( \Delta Em=Em_{final}-Em_{inicial} \)
 
 el aporte de energía  es por lo general un cambio en la energía cinética \( \Delta Em=\Delta Ec=f(\Delta V) \)
 
 y los cambio es de energía cinética se escriben en función de los cambio de velocidad relativa \( \Delta V \) y por lo general se habla del Delta V necesario para cambiar de una órbita a otra porque está en relación directa con el consumo de combustible.
 
 Cuando la cantidad de masa de propelente juega un papel importante respecto de la masa del cohete entonces se usa la ecuación del cohete de Tsiolkovski

 Cuando ya intervienen funciones de comunicación GPS y telemetría mucho más precisas, entonces la relatividad especial y la general toman el mando, para corregir pequeñas desviaciones de medida en órbitas rápidas muy próximas a un cuerpo muy masivo. Estas matemáticas son más avanzadas y por lo general requieren de la ejecución de algún algoritmo numérico, en vez de una sencilla formula que arroje el resultado. Pero algunas fórmulas aproximadas tienen un mínimo error  y se las usa fácilmente, sin ningún algoritmo, y no son causa de ningún incidente .

Cuando te refieres a los errores de cálculo, que han llevado a abortar misiones, perdida de objetivos o directamente a accidentes, nunca están relacionadas con errores de cálculo en la gravedad, sino en la ejecución de secuencias de comandos automáticos, imagina que para enviar desde tierra cualquier comando para alunizar demora mínimo 1.3s en llegar. la información debe procesarse y devolver alguna acción o comando  concreto, no es mucho pero a veces es un gran inconveniente .
Cuando se necesita amartizar ese tiempo es de 20 minutos, cualquier desviación de las mediciones, tardara más de 20 minutos en resolverse desde tierra, 10 para enterarnos y otros 10 para enviar un comando corrector , esto debido a que la velocidad de la luz es limitada  y la distancia a cubrir muy grande, entonces es preferible automatizar el software de navegación y monitorizar las funciones principales, pero la principal acción de corrección debe ser instantánea y tomada desde la propia nave la cual está programada previamente, cualquier error en esos cálculos de programación, llevara posiblemente al fracaso de la misión.

Ejemplo si evalúas mal la fricción atmosférica, no frenaras a tiempo o necesitaras más o menos retro propulsores, en un descenso en marte  tienes pocos minutos (7  según las últimas misiones ) disponibles por el escaso combustible que se lleva, y cualquier comando desde tierra le llegara a la nave luego de que haya tocado suelo, o estrellado en el peor de los casos.
Entonces cualquier diferencia entre los tiempos calculados teóricos y los obtenidos de la práctica por ejemplo en los tiempos de encendido, duración del encendido, empuje , consumo de las toberas propulsoras, etc., llevaran a la nave a una órbita trayectoria no esperada, en general los errores leves son de esperarse y se corrigen, pero los inesperados debido a causas no previamente estudiadas, serán los que pongan en peligro a las misiones.
Ejemplos: el efecto de los rayos cósmicos , en cualquier panel o circuito electrónico, los efectos de la dilatación al exponerse a la luz solar, y a la contracción por la temperatura baja a la cual radian las superficies y crean  tensiones internas en materiales, y miles más, los sellos de presión para que no escape el combustible, o el aire respirable.
Nombro algunos  que recuerdo
Perdidas de calor o de radio isotopos, pueden ser fuente de desaceleraciones, como pasó en el caso de la Anomalía Pioneer  donde un error en la 8va cifra de la aceleración  fue detectada desde tierra por telemetría y creo la bases de toda una serie de teorías alternativas a la gravitación universal, para explicar el fenómeno que ya hace años fue aclarado, pero las teorías aún pululan por ahí.
Otros  como el caso de la sonda Schiaparelli "la causa fue un fallo en las unidad de medida inercial (IMU), de fabricación estadounidense. En concreto se dijo que la IMU (un giroscopio, hablando mal y pronto) había sufrido una saturación momentánea durante el despliegue del paracaídas, lo que provocó que el ordenador de a bordo pensase que la posición de la nave no era la prevista"
 Los casos de muerte en accidentes han ocurrido, por explosiones seguido de impactos en superficie, perdidas de oxígeno, sacrificios (Laika),  incendios incluso en Tierra... pero rara vez veras ha sido o ninguna vez  creo que el error fue de cálculo de la órbita, es muy difícil errar a algo tan grande como un planeta, teniendo la capacidad de maniobrar que se tiene.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

17 Marzo, 2021, 08:48 am
Respuesta #3

sugata

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Richard, no se si has visto la película "Figuras ocultas". En ella hablan de la dificultad de convertir una trayectoria circular (orbita), en una parabólica (entrada y caída) y supuestamente, se resuelve con matemáticas antiguas.
¿Qué hay de cierto en esto?

17 Marzo, 2021, 11:42 am
Respuesta #4

Richard R Richard

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Hola, sugata, no he visto la película, pero me has dado un proyecto para el fin de semana. Sabes si está basada en hechos reales puntuales o trata solo el tema de la complejidad matemática?
Yo entiendo lo siguiente y lo resalto por si no fui claro. Por un lado tenemos las ecuaciones, fórmulas, que hasta donde las he leído no son muy complejas, no tengo suficiente información para confirmar si las agencias espaciales, las usan o no, pero entiendo que no hay una física más compleja detrás que deba experimentarse y modelarse matemáticamente. Como dije cualquier uso que se le de a la relatividad general, tiene gran labor matemática en cantidad (muchas derivadas y sumatorios) que llevan tiempo y es más fácil utilizar un ordenador.
Y por otro lado lo que si es complejo es ser preciso con esas fórmulas, podemos calcular fácilmente la velocidad de escape de la tierra , la energía adicional para entrar en órbita lunar, y la energía de frenado para alunizar, pero la dificultad proviene de dominar otras cosas se me ocurren...
Estudiar la estructura de la atmósfera terrestre y lunar , el diseño exterior que minimizar el rozamiento es crucial.
Acelerar ,desplazarse y frenar tiene un gasto de combustible, el combustible tiene masa y  cuánto más combustible necesites más grande el cohete ,más potencia de motores y más masa combustible se necesita para mantener la aceleración prevista.
Luego la astronomía , todo lo que observamos tiene velocidad relativa respecto de la superficie, calcular la velocidad de algo  que no has visitado nunca requiere de experimentación.
Además la ventana de tiempos de lanzamiento también tiene su dificultad, no será el mismo gasto de combustible partir al mediodía qué horas más tarde, la luna se mueve y la superficie gira, la dificultad si la hay es optimizar el recorrido usando diversas estrategias para gastar menos combustible, eso incluye calcular muy bien en que momento despegar en función de la distancia y velocidad de la luna.
Toda la tecnología necesaria y el conocimiento previo,la experimentación para controlar todas las variables hacen complejo el envío de naves, por lo que entiendo que la matemática del cálculo de la órbita no es de lo más difícil de afrontar, comparado con otros cálculos también necesarios para el envío y recepción de datos e imágenes; incluso menos que los que realiza la instumentación que lleve en la cápsula que es el objetivo de la misión.


Editado


Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

17 Marzo, 2021, 01:29 pm
Respuesta #5

sugata

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Breve indicación de la película figuras ocultas. No hay destripes de la película.
 
Spoiler
La película trata de la verdadera historia de tres mujeres  afroamericana que trabajaban en la NASA. Las tres trabajan de calculadoras repasando los cálculos necesarios para orbitar y llevar a un hombre al espacio. A una de ella la ponen de matemática con los que hacen los cálculos, para revisarlos por si hubiera fallos, a otra la cogen de ingeniera sin serlo y la tercera aprenderá a usar un ordenador IBM, para agilizar los cálculos.
Todo esto se hará para llevar a John Glenn al espacio.
A parte de las dificultades de "inventar" una matemática que "no existe", para hacer la transformación del movimiento que te contaba, la película habla del trato a la mujer y a los negros en aquella época.
[cerrar]

El siguiente enlace habla de las tres mujeres afroamericanas reales en las que se basa la película. Contiene algún destripe de la película, aunque poco destripe se puede hacer de un caso real.

Las mujeres matemáticas de "Figuras Ocultas"

17 Marzo, 2021, 11:57 pm
Respuesta #6

Richard R Richard

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He visto e tráiler de la película, y te comento  que una cosa es determinar una órbita y otra la trayectoria necesaria para llegar a la órbita.

Ejemplo comúnmente decimos que la gravedad es 9.81 m/s^2  para todo problema, pero sabemos bien que según la latitud y la longitud   la gravedad varia en mas o en menos.

Dependiendo de la latitud también la velocidad de rotación de la tierra debe ser tenida en cuenta, ya que la superficie se mueve a 460m/s en el ecuador y a 0 estimativamente en los polos.

La atmósfera ofrece rozamiento, no solamente a baja altura  donde el aire es respirable sino que a 400  km todavía hay átomos  que colisionan con los satélites  de órbita baja y los frenan , por lo tanto a veces es necesario ajustarle periódicamente la órbita en caso de ser necesario.

A que voy con esto una cosa es calcular una "orbita" que es lo que entiendo como tema del hilo, y otra el cálculo de innumerables factores que influyen en la física de la impulsión para que un cohete alcance la órbita, la mantenga y también regrese a tierra sin quemarse por la fricción.
Sobre todo esto último cuando las naves son tripuladas, los ángulos de reentrada son críticos, no por el cálculo sino por la resistencia de los materiales a la temperatura, se estudia la resistencia a la fricción y la temperatura  tanto en diseño y forma como en aislación y resistencia, Estos cálculos son complejos y la elección de la maniobra si es crítica, para la supervivencia de la nave.
incluso como  puedes dar varios giros alrededor de la tierra durante el día, deberás ajustar el momento angular para enfrentar o dar la misma cara con la superficie todo el tiempo.

No sé si entiende, enviar una nave al espacio no es solo el cálculo de la órbita que es entre comillas sencillo,  sino lo difícil  es prever toda la trayectoria  hasta alcanzarla es que todo lo que quieras hacer con esa nave , sobreviva al viaje y este operacional,
nadie pensaría lanzar un satélite sin protegerlo de la atmósfera,  pero si  enviarlo protegido por medio de una cúpula o capsula , para liberarlo luego de entrada en las capas superiores donde la fricción no pueda dañarlo.

Cada nave tiene uno o varios motores cohete que permiten maniobrar y hacer correcciones, ningún cohete sube con un solo impulso , o disparo instantáneo con un único calculo, sino que los motores actúan un determinado tiempo, con determinada potencia, consumen determinada cantidad de combustible, que reduce la masa del cohete mientras asciende por lo que la aceleración no es una constante, ni siquiera la gravedad lo es con respecto a la altura, además la hora del despegue debe facilitar arribar al objetivo con la menor cantidad de combustible, ese requisito de optimización no tiene nada que ver con la órbita que se puede alcanzar de infinitos modos. Todo esto es lo que crea distintas disciplinas de la ingeniería para construir una nave segura, económica, lo más ligera (liviana), y resistente posible,  entiendo que la película va de eso, de todo lo que hay que calcular extra, no solo la órbita.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

18 Marzo, 2021, 04:13 am
Respuesta #7

Richard R Richard

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A esta hora ya vi la película, que además de ser muy bonita, esta basada en historias de vida reales.


Yendo al tema del hilo es claro que entre diálogos,  yo la mire traducida al español, mezclan el concepto de trayectoria, con el de órbita.


Marco la diferencia, la órbita  es la curva creada por el efecto de la gravedad sobre la masa del satélite o capsula, que también  podemos llamar geodesia de espaciotiempo en relatividad general, con respecto  de la  contraparte, la trayectoria, que es camino que recorrerá la nave  desde el lanzamiento hasta el aterrizaje, queclaro está también incluye la órbita, pero repito incluye el lanzamiento, el impulso  necesario para llegar a la órbita, las correcciones de órbita para mantenerla, y el impulso de frenado para caer de la órbita , y comenzar la re entrada y la re entrada en atmósfera.


Como ves , los  calculos matematicos que se manejan son principalmente, en el ascenso trayectoria parabólica o hiperbólica, en corregir la dirección para tomar órbita elíptica, la órbita en sí que a grandes alturas no tiene fricción  no requiere correcciones,  y de estas algunas  son necesarias para obtener órbitas bajas cercanas a circulares,también de acuerdo elección de un punto de  llegada y en base a la experiencia y los cálculos de fricción, estimar el punto en el espacio donde cambiar de órbita elíptica a parabólica nuevamente para iniciar el descenso, (o viceversa donde la velocidad y altura sea la adecuada para  iniciar la maniobra con el objeto de caer en el punto justo) .Cada impulso por ejemplo el de 0.5g que le dieron como orden John Glenn debe ser calculado muy precisamente tanto en espacio y tiempo, y de eso trata la historia, de escoger un punto en la órbita elíptica del cual se sabe su altura y velocidad , que se obtienen fácilmente por los cálculos con las formulas que postee ( solo que esos no tienen en cuenta que la tierra gira, y según la latitud hay una composición de velocidades relativa a tierra), y de ahí calcular fuerzas , dirección, torques, según la masa que tiene la nave, para que se reingrese con el escudo orientado hacia la linea de la trayectoria  y en el el angulo preciso, donde la fricción sea controlable y los materiales resistan la temperatura y la abrasión de las grandes velocidades de re entrada.


Es de hacer notar que en una órbita elíptica nunca es constante en el tiempo ni la velocidad radial  ni la tangencial, es por eso que la elección y el calculo preciso  es necesario para el inicio y fin de maniobras,  no es lo mismo dejarse acelerar en el apoastro que en el peri astro, el mismo impulso radial da dos ángulos y tiempos de re entrada total mente distintos, en eso esta la complejidad, y no tanto en el calculo de la órbita, que se repite varias veces al día y que  seguirá del mismo modo de no frenarse por los pocos átomos que escapan de la atmósfera terreste, y en el transcurso de muchos años hacen que los satélites caigan a tierra, me acuerdo de la caída de  Skylab, y los problemas de aislación del Columbia en la reentrada, o las correcciones periódicas que hace la ISS por este efecto.

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

18 Marzo, 2021, 08:19 am
Respuesta #8

sugata

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Todo claro y me alegro que te gustara la película. Al principio de ver el trailer, pensé que iba a ser otra alegoría de la fuerza americana, pero no. Una buena historia basada en hechos reales.

18 Marzo, 2021, 09:13 am
Respuesta #9

robinlambada

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Siempre me hubiese gustado entender por qué esos cálculos se antojan tan complejos
y en numerosas ocasiones fallan en el descenso de la órbita


Realmente como comenta Richard, no se se necesita la  mecánica relativista para la aeronáutica espacial (movimientos de cohetes , órbitas, etc.)

Lo que ocurre es que aunque la ley de gravitación de Newton no es compleja en términos matemáticos, cuando se aplica en conjunto con la 2ª ley para calcular el problema de 3 cuerpos ( Sol-Tierra-Luna o Tierra-satélite-Luna) se complica sobremanera, y no tiene una solución sencilla ni analíticamente cerrada, como demostró Poincaré.

Se suele atacar ( cuando la interacción de uno de los tres cuerpos es mucho menor que los otros dos) por teoría de la perturbación, como el problema de los dos cuerpos que si tiene solución analítica , más una perturbación )

https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_tres_cuerpos

Cuando la cantidad de masa de propelente juega un papel importante respecto de la masa del cohete entonces se usa la ecuación del cohete de Tsiolkovski


En este enlace del foro calculo la velocidad y distancia en función del tiempo de un cohete con masa variable (lo dejo por si os es de interés)

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=110220.msg435877#msg435877

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.