Autor Tema: Incompletitud de Q

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16 Marzo, 2021, 08:00 pm
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pablo.chanduj

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                 Buen día a todos: Tengo el siguiente ejercicio: Dado los siguientes conjuntos A y B muestre que para todo \( r\in{A} \) y todo \( s\in{B} \) entonces \( r<s \)
\( A=\left\{{\forall{r}\in{Q}:r>0\wedge r^2<2}\right\} \)             
\( B=\left\{{\forall{s}\in{Q}:s>0\wedge s^2>2}\right\} \)     
Mi solución planteada es esta:
1. \( r^2<2 \)
2. \( s^2>2 \)
3. \( r^2<2<s^2 \)
4. \( \forall{r}\in{Q}\exists{r^{-1}}/rr^{-1}=1 \)
5. \( \forall{s}\in{Q}\exists{s^{-1}}/ss^{-1}=1 \)
6. \( 2-r^2\in{Q} \)
7. \( s^2-2\in{Q} \)
8. Multiplico 4. y 6. \( 2r^{-1}-r\in{Q} \)
9. Multiplico 5. y 7. \( s-2s^{-1}\in{Q} \)
10. Sumo 8. y 9. \( 2r^{-1}-2s^{-1}+s-r\in{Q} \)
11. \( 2r^{-1}-2s^{-1}\in{Q} \)
12. \( s-r\in{Q} \) Hasta acá queda demostrado!

                      Es correcto lo que hice? espero respuestas!
                      Saludos cordiales/Best regard

16 Marzo, 2021, 08:10 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

                 Buen día a todos: Tengo el siguiente ejercicio: Dado los siguientes conjuntos A y B muestre que para todo \( r\in{A} \) y todo \( s\in{B} \) entonces \( r<s \)
\( A=\left\{{\forall{r}\in{Q}:r>0\wedge r^2<2}\right\} \)             
\( B=\left\{{\forall{s}\in{Q}:s>0\wedge s^2>2}\right\} \)     
Mi solución planteada es esta:
1. \( r^2<2 \)
2. \( s^2>2 \)
3. \( r^2<2<s^2 \)
4. \( \forall{r}\in{Q}\exists{r^{-1}}/rr^{-1}=1 \)
5. \( \forall{s}\in{Q}\exists{s^{-1}}/ss^{-1}=1 \)
6. \( 2-r^2\in{Q} \)
7. \( s^2-2\in{Q} \)
8. Multiplico 4. y 6. \( 2r^{-1}-r\in{Q} \)
9. Multiplico 5. y 7. \( s-2s^{-1}\in{Q} \)
10. Sumo 8. y 9. \( 2r^{-1}-2s^{-1}+s-r\in{Q} \)
11. \( 2r^{-1}-2s^{-1}\in{Q} \)
12. \( s-r\in{Q} \) Hasta acá queda demostrado!

 Pero lo que no acabo de entender es porque de ahí se supone que demuestras que \( r<s. \) No lo veo.

 Pero no te limites a decir: gracias. ¡Defiende tu demostración!. Insisto en algo que te comenté en otro hilo. Una demostración no es una colección de cuentas. ¡Usa palabras!¡Explícala!.

Spoiler
Yo lo haría por reducción al absurdo.

 Si \( r\geq s \) entonces por ser números positivos \( r\cdot r\geq s\cdot s \), es decir, \( r^2\geq s^2 \).

 Además como \( s\in B \), se tiene que \( s^2>2 \). Por tanto si \( r^2\geq s^2 \) y \( s^2>2 \) entonces \( r^2>2 \) pero eso contradice que \( r\in A \).
[cerrar]

Saludos.

16 Marzo, 2021, 09:27 pm
Respuesta #2

homohabilis

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Pero

 \( s−r∈Q \) no implica \( r<s  \), simplemente has concluído que es un número racional. No demuestras que sea \( >0 \)

Creo que estás alargando mucho todo. Con lo que comenta Luis es de sobras.
Todas esas multiplicaciones y sumas ... En todo eso te puede pasar que un elemento de \( A \) tenga inverso en \( B \), o cualquier otra cosa que te complique la demostración.

Cuanto más breve, mejor.