Autor Tema: Multiplicidad de un polinomio.

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16 Marzo, 2021, 05:46 pm
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lindtaylor

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Consulta: ¿Cómo se puede probar que el polinomio \( -x^3+2x^2+3x+5 \) no tiene multiplicidades? en \( \mathbb{C} \)
....

16 Marzo, 2021, 05:59 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Consulta: ¿Cómo se puede probar que el polinomio \( -x^3+2x^2+3x+5 \) no tiene multiplicidades? en \( \mathbb{C} \)

Entiendo que te refieres a comprobar si tiene alguna raíz múltiple. Puedes usar que si \( a \) es una raíz múltiple de \( p(x) \) entonces \( (x-a) \) es un factor común de \( p(x) \) y su derivada \( p'(x) \).

Entonces \( p(x) \)  no tiene raíces múltiples si y sólo si \( mcd(p(x),p'(x))=1 \).

El máximo común divisor lo puedes calcular por el algoritmo de Euclides.

Saludos.

16 Marzo, 2021, 07:52 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Consulta: ¿Cómo se puede probar que el polinomio \( -x^3+2x^2+3x+5 \) no tiene multiplicidades? en \( \mathbb{C} \)

Otra forma: si \( a \) es raíz al menos doble de \( p(x)=-x^3+2x^2+3x+5 \), ha de anular a \( p^\prime (x) \) por tanto, se ha de verificar necesariamente \( -3a^2+4a+3=0 \) cuyas soluciones son \( a=\displaystyle\frac{2}{3}\pm\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \). Ahora basta sustituir estos valores en \( p(x) \).

16 Marzo, 2021, 09:38 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    Por cierto, se me olvidó comentar que el método que yo he propuesto ha sido por la particularidad de ser la derivada un polinomio de grado \( 2 \) y no sería decidible en otros casos. Sin embargo, el método propuesto por Luis, es decidible siempre.