Autor Tema: Demostración de la Regla de la Cadena

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15 Marzo, 2021, 06:13 am
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Marcos Castillo

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Hola, estimado RM

Tengo un texto, y algunas dudas. Primero el texto, y luego las dudas:

"Demostración de la Regla de la Cadena (Teorema 6)

Sea \( f \) una función derivable en el punto \( u=g(x) \) con \( g \) una función derivable en \( x \). Sea la función \( E(k) \) definida así:

                                          \( E(0)=0 \)

                                          \( E(k)=\dfrac{f(u+k)-f(u)}{k}-f'(u) \),   si \( k\neq 0 \)

Por definición de derivada, \( \lim_{k \to{0}}{E(k)=f'(u)-f'(u)=0=E(0)} \), por lo que \( E(k) \) es continua en \( k=0 \). Además, sea \( k=0 \) o no, tenemos que

                                         \( f(u+k)-f(u)=(f'(u)+E(k))k \)

Sea ahora \( u=g(x) \) y \( k=g(x+h)-g(x) \), de forma que \( u+k=g(x+h) \), con lo que se obtiene

                                         \( f(g(x+h))-f(g(x))=(f'g(x)+E(k))(g(x+h)-g(x)) \)

Como \( g \) es diferenciable en \( x \), \( \lim_{h \to{0}}{[g(x+h)-g(x)]/h=g'(x)} \). Además, \( g \) es continua en \( x \) por el Teorema 1

Spoiler

TEOREMA 1 Ser diferenciable implica ser continua

Si \( f \) es diferenciable en \( x \), sabemos que existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x) \)

Utilizando las reglas de los límites (Teorema 2 de la sección 1.2),

Spoiler
TEOREMA 2 Reglas para los límites

Si \( \lim_{x \to {a}}{f(x)}=L \), \( \lim_{x \to {a}}{g(x)}=M \), y \( k \) es una constante, entonces

1. Límite de la suma: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)+g(x)]}=L+M \)

2. Límite de una diferencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)-g(x)]}=L-M \)

3. Límite de un producto: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)g(x)}=LM \)

4. Límite de una multiplicación por una constante: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{kf(x)}=kL \)

5. Límite de un cociente: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{L}{M} \), si \( M\neq 0 \)

Si \( m \) es un entero y \( n \) un entero positivo, entonces

6. Límite de una potencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)^{m/n}]}=L^{m/n} \) siempre que \( L>0 \) cuando \( n \) sea par, y \( L\neq 0 \) si \( m<0 \)

Si \( f(x)\leq{g(x)} \) en un intervalo que contiene a \( a \) en su interior, entonces

7. Conservación del orden \( L\leq{M} \)

[cerrar]

tenemos que

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f(x+h)-f(x))}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left ({\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\right )(h)}=(f'(x))(0)=0 \)

Esto es equivalente a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=f(x) \), lo que indica que \( f \) es continua en \( x \).
[cerrar]

por lo que \( \lim_{h \to{0}}{k}=\lim_{h \to{0}}{(g(x+h)-g(x))=0} \). Como \( E \) es continua en 0, \( \lim_{h \to{0}}{E(k)}=\lim_{k \to{0}}{E(k)}=E(0)=0 \). Por tanto,

                                                     \( \dfrac{d}{dx}f(g(x))=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}} \) 

                                                                       \( =\displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f'(g(x))+E(k))\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}} \)

                                                                       \( =(f'(g(x))+0)g'(x)=f'(g(x))g'(x) \)

como se quería demostrar.

¿Por qué es necesario recordar la continuidad de \( g \) en \( x \)? Pienso que es para saber que la derivada de una función compuesta es también continua

\( \lim_{h \to{0}}{E(k)} \), ¿no es igual a \( E(k) \)?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

15 Marzo, 2021, 09:11 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Esto es equivalente a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=f(x) \), lo que indica que \( f \) es continua en \( x \).[/spoiler]

por lo que \( \lim_{h \to{0}}{k}=\lim_{h \to{0}}{(g(x+h)-g(x))=0} \). Como \( E \) es continua en 0, \( \lim_{h \to{0}}{E(k)}=\lim_{k \to{0}}{E(k)}=E(0)=0 \). Por tanto,

                                                     \( \dfrac{d}{dx}f(g(x))=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}} \) 

                                                                       \( =\displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f'(g(x))+E(k))\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}} \)

                                                                       \( =(f'(g(x))+0)g'(x)=f'(g(x))g'(x) \)

como se quería demostrar.

¿Por qué es necesario recordar la continuidad de \( g \) en \( x \)? Pienso que es para saber que la derivada de una función compuesta es también continua

\( \lim_{h \to{0}}{E(k)} \), ¿no es igual a \( E(k) \)?

No me entusiasma de todo la notación usada por el libro, porque \( k \) depende de \( h \); al denotarlo con una letra sin más uno olvida esa relación y eso te está despistando.

Entonces:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))} \)

Y ahí se usan dos cosas:

- Por ser \( g \) continua en \( x \) se tiene que \( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}g(x+h)=g(x) \).
- Lo anterior unido al hecho de que \( \displaystyle\lim_{z \to{0}}{E(z)=0} \) sirve pare concluir que:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)

Saludos.

16 Marzo, 2021, 05:26 am
Respuesta #2

Marcos Castillo

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No me entusiasma de todo la notación usada por el libro, porque \( k \) depende de \( h \); al denotarlo con una letra sin más uno olvida esa relación y eso te está despistando.

Entonces:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))} \)


Perfecto. Aunque sea evidente, no lo veía.


Y ahí se usan dos cosas:

- Por ser \( g \) continua en \( x \) se tiene que \( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}g(x+h)=g(x) \).
- Lo anterior unido al hecho de que \( \displaystyle\lim_{z \to{0}}{E(z)=0} \) sirve pare concluir que:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)



Me lío con la \( z \) como variable :-[ ¿Cómo se llega a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)?.

¡Un saludo y gracias!
No man is an island (John Donne)

16 Marzo, 2021, 09:46 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Me lío con la \( z \) como variable :-[ ¿Cómo se llega a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)?.

En general:

si \( \displaystyle\lim_{x \to a}{}f(x)=L  \) y \( \displaystyle\lim_{x \to b}{}g(x)=a \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to b}{}f(g(x))=L  \)

O en otra versión equivalente si \( f(x) \) es continua en \( a \) y \( g(x) \) es continua en \( b \) y \( g(b)=a \) entonces la función compuesta \( (f\circ g)(x) \) es continua en \( b \).

O dicho de una tercera forma: la composición de funciones continuas es continua.

Esto te lo tienen que haber demostrado antes de ir con la regla de la cadena.

Saludos.

17 Marzo, 2021, 01:09 am
Respuesta #4

Marcos Castillo

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¡Ya me ha costado! Tenía que haberlo entendido en tu primera respuesta, pero me alegro de haber recibido dos lecciones. De verdad, el libro no menciona, supongo que al darlo por asumido con anterioridad, la continuidad de la función compuesta.
El cambio de variable en la primera respuesta es un recurso que aprecio muchísimo.
¡Un saludo!
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