Autor Tema: \(A=\{r\in{Q}:r>0 \wedge r^2<2\}\) no tiene máximo

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18 Marzo, 2021, 12:52 pm
Respuesta #10

feriva

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Espero respuestas! muchas gracias!       

Esto está mal

Spoiler
Explicándolo con bastantes palabras yo lo diría así (puede que no sea riguroso o incluso que esté mal porque me equivoque, pero en ese caso la culpa no la tendrán las palabras, la tendré yo).

Para todo \( r
  \) real mayor que cero, existe un real \( q
  \) mayor que cero tal que \( \sqrt{q}=r
  \); de lo contrario no existiría \( r^{2}=q
  \).

Si el conjunto tuviera máximo, es obvio que se podría escribir de esta manera, \( q<2\Rightarrow\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}<\sqrt{2}
  \); pues “1/n” es un racional positivo tan pequeño como se quiera tomando “n” mayor que cero.

De ahí, elevando al cuadrado a ambos lados, \( 2-\dfrac{1}{n}<2
  \).

Pero ocurre que existe \( \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}
  \), tal que \( (2-\dfrac{1}{n})<(2-\dfrac{1}{n+1})<2
  \); es decir, existe un número dentro del conjunto que resulta ser mayor que el hipotético máximo.
[cerrar]

Saludos.

18 Marzo, 2021, 06:10 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Si el conjunto tuviera máximo, es obvio que se podría escribir de esta manera, \( q<2\Rightarrow\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}<\sqrt{2}
  \); pues “1/n” es un racional positivo tan pequeño como se quiera tomando “n” mayor que cero.

¿De qué manera? No es nada obvio que podría escribirse como \( 2-\dfrac{1}{n} \), si es eso lo que pretendías poner. No puedo decir que es falso, porque como en realidad no hay máximo, suponiendo que si lo hay uno puede afirmar cualquier cosa, ya que la premisa es falsa. Pero no es un razonamiento correcto.

Saludos.

18 Marzo, 2021, 08:20 pm
Respuesta #12

feriva

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Hola

Si el conjunto tuviera máximo, es obvio que se podría escribir de esta manera, \( q<2\Rightarrow\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}<\sqrt{2}
  \); pues “1/n” es un racional positivo tan pequeño como se quiera tomando “n” mayor que cero.

¿De qué manera? No es nada obvio que podría escribirse como \( 2-\dfrac{1}{n} \)

La razón de que no sea obvio, ¿es que \( \sqrt{2-\dfrac{1}{n}} \) puede ser irracional? 

Gracias, Luis.



18 Marzo, 2021, 11:06 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

La razón de que no sea obvio, ¿es que \( \sqrt{2-\dfrac{1}{n}} \) puede ser irracional? 

En realidad ni me había fijado en eso. Pero ciertamente si lo que habías dicho es que el máximo tendría que ser ese \( \sqrt{2-\dfrac{1}{n}} \), no es que no sea obvio, es que es falso. Porque como dices ni siquiera pertenece al conjunto porque no es racional.

Pero además, si el único argumento es que \( \dfrac{1}{n}\to 0 \), igualmente podría afirmarse que el máximo sería de la forma, por decir algo, \( 2-\dfrac{3}{4^n} \).

Saludos.

18 Marzo, 2021, 11:49 pm
Respuesta #14

feriva

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En realidad ni me había fijado en eso. Pero ciertamente si lo que habías dicho es que el máximo tendría que ser ese \( \sqrt{2-\dfrac{1}{n}} \), no es que no sea obvio, es que es falso. Porque como dices ni siquiera pertenece al conjunto porque no es racional.

Pero además, si el único argumento es que \( \dfrac{1}{n}\to 0 \), igualmente podría afirmarse que el máximo sería de la forma, por decir algo, \( 2-\dfrac{3}{4^n} \).

Saludos.

De acuerdo entonces; voy a editar para poner el aviso de que está mal.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.

19 Marzo, 2021, 09:23 am
Respuesta #15

feriva

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Hola, Luis.

Dime, por favor, si se podría asumir esto:

Partimos de

\( r^{2}<2
  \).

El máximo no puede ser tal que \( r^{2}=2-\dfrac{1}{n}
  \), pues \( 2-\dfrac{1}{n}
  \) supone una fracción irreducible para n>1 y “r” sería irracional.

Entonces parece que, a partir de ahí, podemos asumir la existencia de un “n” tal que \( r^{2}<2-\dfrac{1}{n}<2
  \).

Ahora, eso implica

\( r<\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}<\sqrt{2}
  \)

y de ahí tenemos también

\( r<\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}<\sqrt{2-\dfrac{1}{n+1}}<\sqrt{2}
  \)

Dado que \( \mathbb{Q}
  \) es denso en \( \mathbb{R}
  \) (si podemos contar con que lo tenemos demostrado de antemano) entonces existe \( r_{2}>r
  \) tal que \( r<\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}<r_{2}<\sqrt{2-\dfrac{1}{n+1}}<\sqrt{2}
  \) y, por tanto, existiría \( r_{2}^{2}<2
  \).

Gracias otra vez.

Saludos.

19 Marzo, 2021, 09:53 am
Respuesta #16

geómetracat

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Si vas a usar la densidad de \[ \Bbb Q \] en \[ \Bbb R \], ¿no es más fácil decir directamente que si \[ q \] es un racional con \[ q^2<2 \] (luego \[ q<\sqrt{2} \]), entonces por densidad existe \[ q' \] racional con \[ q<q'<\sqrt{2} \] (y \[ q' \] claramente cumple \[ q'^2<2 \])?

Técnicamente lo que haces está bien, pero es dar mucha vuelta, creo yo.
Aunque la existencia de un \[ n \] tal que \[ r^2<2-\frac{1}{n}<2 \] no se sigue de que \[ 2-\frac{1}{n} \] es irracional, como parece que digas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Marzo, 2021, 10:41 am
Respuesta #17

feriva

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Si vas a usar la densidad de \[ \Bbb Q \] en \[ \Bbb R \], ¿no es más fácil decir directamente que si \[ q \] es un racional con \[ q^2<2 \] (luego \[ q<\sqrt{2} \]), entonces por densidad existe \[ q' \] racional con \[ q<q'<\sqrt{2} \] (y \[ q' \] claramente cumple \[ q'^2<2 \])?

Técnicamente lo que haces está bien, pero es dar mucha vuelta, creo yo.
Aunque la existencia de un \[ n \] tal que \[ r^2<2-\frac{1}{n}<2 \] no se sigue de que \[ 2-\frac{1}{n} \] es irracional, como parece que digas.

Eso también es verdad.

Muchas gracias, Geómetracat.

Saludos.

19 Marzo, 2021, 11:52 am
Respuesta #18

argentinator

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Si vas a usar la densidad de \[ \Bbb Q \] en \[ \Bbb R \], ¿no es más fácil decir directamente que si \[ q \] es un racional con \[ q^2<2 \] (luego \[ q<\sqrt{2} \]), entonces por densidad existe \[ q' \] racional con \[ q<q'<\sqrt{2} \] (y \[ q' \] claramente cumple \[ q'^2<2 \])?

Técnicamente lo que haces está bien, pero es dar mucha vuelta, creo yo.
Aunque la existencia de un \[ n \] tal que \[ r^2<2-\frac{1}{n}<2 \] no se sigue de que \[ 2-\frac{1}{n} \] es irracional, como parece que digas.

Eso también es verdad.

Muchas gracias, Geómetracat.

Saludos.

Me engancho en esta última parte de la discusión, espero no meter nada confuso.

Para probar que existe \(n\) tal que \(r^2 < 2-\frac1n < 2\) en \(\mathbb Q\),
se aprovecha la propiedad arquimediana, que vale en \(\mathbb Q\),
así como en todo conjunto de números que se pueda ordenar en la recta numérica.

La propiedad arquimediana (en \(\mathbb Q\)) dice que para todo número racional, existe un entero positivo \(n\) que es más grande. En símbolos:

\[\forall q\in\mathbb Q\,:\, \exists n\in\mathbb Z^+\,:\, n > q. \]

Esta propiedad se puede demostrar fácilmente en \(\mathbb Q\).
Primeramente, es obvio que se cumple si el número \(q<1\),
pues tomando \(n=1\) vemos que \(q<n\) siendo \(n\) entero positivo.
Si ahora asumimos que \(q\geq 1\), procedemos así:
recordemos que un número racional positivo (como lo es \(q\))
se puede escribir como fracción de dos enteros positivos \(a,b\): \(q=\dfrac ab\).
Como hemos asumido que \(q\geq 1\), el numerador es más grande (o igual) que el denominador, y además siendo ambos positivos podemos anotar:
\(0<b\leq a\).
Si ahora multiplicamos por un entero positivo mayor que el denominador,
y que además sea múltiplo de dicho denominador (por ejemplo \(2b\),
vamos a obtener un número entero positivo mayor que \(q\).
Para comprobarlo, notemos que \(q\geq 1\) porque es un entero positivo.
Entonces:

\[2b \cdot q = 2b\dfrac ab \geq 2\cdot 1 \cdot \dfrac ab > \dfrac ab = q. \]

Por otro lado, el número \(n=2b\cdot q \) es entero positivo,
ya que lo hemos elegido estratégicamente para que \(2b\) se cancele con el denominador de \(q=\dfrac ab\), con lo cual:

\[n=2b\cdot q = 2b\dfrac ab = 2\cdot a.\]

Hemos demostrado que \(n>q\).

_________________________________

Esta propiedad puede usarse no sólo para buscar números grandes,
sino también números pequeños, de la forma \(1/n\), con \(n\) entero positivo,
de manera que \(1/n\) sea tan pequeño como nos haga falta.

Supongamos que ahora tenemos un número racional positivo \(u\).
Entonces \(q=1/u\) también es un racional positivo,
y la propiedad arquimediana nos dice que existe \(n\in\mathbb Z^+\)
tal que \(n>q\).
Usando que los recíprocos invierten las desigualdades, obtenemos que:

\[\dfrac1n<\dfrac 1q = u.\]

Pero además tenemos que \(1/n\) es positivo, así que podemos escribir algo más preciso:

\[0<\dfrac1n <u.\]

_______________________

Ahora lo que conviene hacer es "correr todo al 0".

Tu problema es encontrar un número \(n\) tal que
\[r^2 < 2-\frac 1n< 2.\]
siendo \(r^2\) racional (sin importar que \(q\) sea o no racional).
Primero hemos de transformar el problema para
que podamos aprovechar la propiedad del recíproco de la arquimediana,
"llevando todo al 0".
Primero restamos 2 en todos los miembros, lo cual mantiene las desigualdades:
\[r^2 {\color{red}- 2} <  2 {\color{red}-2} - \frac 1n < 2{\color{red}-2} .\]
Simplificando, queda:

\[r^2 -2 <   - \frac 1n < 0 .\]

Resolver el problema de hallar un \(n\in\mathbb Z^+\) que cumpla esa desigualdad
es un problema equivalente al original.
 
Ahora seguimos transformando el problema para obtener
otro problema equivalente.
Multplicamos todos los miembros por \((-1)\),
lo cual es un mero cambio de signo,
que a su vez nos obliga a invertir el sentido de todas las desigualdades, y nos queda:

\[2-r^2 > \frac1n > 0.\]

Entonces preguntamos: ¿existe un número entero positivo \(n\) que cumpla esa desigualdad?

Podemos responder que sí, ya que ahora basta tomar como \(u\)
al primero miembro: \(u=2-r^2\).
Como habíamos supuesto que \(r^2 < 2\),
esto es lo mismo que decir que \(u>0\).
Todo esto que digo está guiado por la idea de "correr todo al 0",
lo cual ayuda a que uno se dé cuenta de qué detalles tiene que mirar.

Por la propiedad que vimos más arriba, del caso del recíproco arquimediano (por llamarla de algún modo),
vemos que existe \(n\) entero positivo tal que \(0 < \frac1n < u\),
lo cual equivale a escribir \(0<\frac1n < 2-q^2\).

Pero habíamos dicho que esto era equivalente a tener \(q^2<2-\dfrac1n<2\).



19 Marzo, 2021, 02:48 pm
Respuesta #19

feriva

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Si vas a usar la densidad de \[ \Bbb Q \] en \[ \Bbb R \], ¿no es más fácil decir directamente que si \[ q \] es un racional con \[ q^2<2 \] (luego \[ q<\sqrt{2} \]), entonces por densidad existe \[ q' \] racional con \[ q<q'<\sqrt{2} \] (y \[ q' \] claramente cumple \[ q'^2<2 \])?

Técnicamente lo que haces está bien, pero es dar mucha vuelta, creo yo.
Aunque la existencia de un \[ n \] tal que \[ r^2<2-\frac{1}{n}<2 \] no se sigue de que \[ 2-\frac{1}{n} \] es irracional, como parece que digas.

Eso también es verdad.

Muchas gracias, Geómetracat.

Saludos.

Me engancho en esta última parte de la discusión, espero no meter nada confuso.

Para probar que existe \(n\) tal que \(r^2 < 2-\frac1n < 2\) en \(\mathbb Q\),
se aprovecha la propiedad arquimediana, que vale en \(\mathbb Q\),
así como en todo conjunto de números que se pueda ordenar en la recta numérica.

La propiedad arquimediana (en \(\mathbb Q\)) dice que para todo número racional, existe un entero positivo \(n\) que es más grande. En símbolos:

\[\forall q\in\mathbb Q\,:\, \exists n\in\mathbb Z^+\,:\, n > q. \]

Esta propiedad se puede demostrar fácilmente en \(\mathbb Q\).
Primeramente, es obvio que se cumple si el número \(q<1\),
pues tomando \(n=1\) vemos que \(q<n\) siendo \(n\) entero positivo.
Si ahora asumimos que \(q\geq 1\), procedemos así:
recordemos que un número racional positivo (como lo es \(q\))
se puede escribir como fracción de dos enteros positivos \(a,b\): \(q=\dfrac ab\).
Como hemos asumido que \(q\geq 1\), el numerador es más grande (o igual) que el denominador, y además siendo ambos positivos podemos anotar:
\(0<b\leq a\).
Si ahora multiplicamos por un entero positivo mayor que el denominador,
y que además sea múltiplo de dicho denominador (por ejemplo \(2b\),
vamos a obtener un número entero positivo mayor que \(q\).
Para comprobarlo, notemos que \(q\geq 1\) porque es un entero positivo.
Entonces:

\[2b \cdot q = 2b\dfrac ab \geq 2\cdot 1 \cdot \dfrac ab > \dfrac ab = q. \]

Por otro lado, el número \(n=2b\cdot q \) es entero positivo,
ya que lo hemos elegido estratégicamente para que \(2b\) se cancele con el denominador de \(q=\dfrac ab\), con lo cual:

\[n=2b\cdot q = 2b\dfrac ab = 2\cdot a.\]

Hemos demostrado que \(n>q\).

_________________________________

Esta propiedad puede usarse no sólo para buscar números grandes,
sino también números pequeños, de la forma \(1/n\), con \(n\) entero positivo,
de manera que \(1/n\) sea tan pequeño como nos haga falta.

Supongamos que ahora tenemos un número racional positivo \(u\).
Entonces \(q=1/u\) también es un racional positivo,
y la propiedad arquimediana nos dice que existe \(n\in\mathbb Z^+\)
tal que \(n>q\).
Usando que los recíprocos invierten las desigualdades, obtenemos que:

\[\dfrac1n<\dfrac 1q = u.\]

Pero además tenemos que \(1/n\) es positivo, así que podemos escribir algo más preciso:

\[0<\dfrac1n <u.\]

_______________________

Ahora lo que conviene hacer es "correr todo al 0".

Tu problema es encontrar un número \(n\) tal que
\[r^2 < 2-\frac 1n< 2.\]
siendo \(r^2\) racional (sin importar que \(q\) sea o no racional).
Primero hemos de transformar el problema para
que podamos aprovechar la propiedad del recíproco de la arquimediana,
"llevando todo al 0".
Primero restamos 2 en todos los miembros, lo cual mantiene las desigualdades:
\[r^2 {\color{red}- 2} <  2 {\color{red}-2} - \frac 1n < 2{\color{red}-2} .\]
Simplificando, queda:

\[r^2 -2 <   - \frac 1n < 0 .\]

Resolver el problema de hallar un \(n\in\mathbb Z^+\) que cumpla esa desigualdad
es un problema equivalente al original.
 
Ahora seguimos transformando el problema para obtener
otro problema equivalente.
Multplicamos todos los miembros por \((-1)\),
lo cual es un mero cambio de signo,
que a su vez nos obliga a invertir el sentido de todas las desigualdades, y nos queda:

\[2-r^2 > \frac1n > 0.\]

Entonces preguntamos: ¿existe un número entero positivo \(n\) que cumpla esa desigualdad?

Podemos responder que sí, ya que ahora basta tomar como \(u\)
al primero miembro: \(u=2-r^2\).
Como habíamos supuesto que \(r^2 < 2\),
esto es lo mismo que decir que \(u>0\).
Todo esto que digo está guiado por la idea de "correr todo al 0",
lo cual ayuda a que uno se dé cuenta de qué detalles tiene que mirar.

Por la propiedad que vimos más arriba, del caso del recíproco arquimediano (por llamarla de algún modo),
vemos que existe \(n\) entero positivo tal que \(0 < \frac1n < u\),
lo cual equivale a escribir \(0<\frac1n < 2-q^2\).

Pero habíamos dicho que esto era equivalente a tener \(q^2<2-\dfrac1n<2\).

Muchas gracias, Argentinator.

No es nada confuso; largo sí se hace un poco, pero está muy bien explicado y queda claro.

Saludos.