Autor Tema: \(A=\{r\in{Q}:r>0 \wedge r^2<2\}\) no tiene máximo

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15 Marzo, 2021, 02:11 am
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pablo.chanduj

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                    Buenas noches a todos: Tengo el siguiente ejercicio: Dado el conjunto A demostrar que no tiene máximo:
\( A=\left\{{r\in{Q}:r>0 \wedge r^2<2}\right\} \)
                   
                    ¿Cómo hago para resolverlo? Espero respuestas! muchas gracias!
                    Saludos cordiales!

15 Marzo, 2021, 03:44 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Creo que este ejercicio salió hace poco:
Como \( 1^2 = 1 \) tenemos que \( 1 \in A  \) como \( 2^2 > 2  \) tenemos que \( 2 \notin A \)
Supongamos que tiene máximo, \( q = max\{A\}  \) entonces \( 1 < q < 2  \)
Si \( q^2 < 2 \), buscamos un \( n_0 \in \mathbb{N} \) tal que :
\( \dfrac{1}{n_0^2} + 2 \cdot \dfrac{q}{n_0} < 2-q^2  \)
Nos queda \( q < q+\dfrac{1}{n_0}  \) busca un absurdo.
Editado
Lo que está en el spoiler sobra por no cumplir que está en el conjunto:
Spoiler
Si \( q^2 > 2 \) , buscamos un \( n_0 \) tal que \( q^2-2 > 2\cdot \dfrac{q}{n_0} -\dfrac{1}{n_0^2} \)
Nos queda que \( q-\dfrac{1}{n_0} < q  \) busca un absurdo.


El caso \( q^2 = 2 \) no puede suceder por ser \( \sqrt{2} \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}  \)

[cerrar]

Editado
El hilo era parecido:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116154.msg463689#msg463689

15 Marzo, 2021, 06:10 am
Respuesta #2

pablo.chanduj

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                  Muchas gracias estimado! saludos cordiales!

16 Marzo, 2021, 02:25 am
Respuesta #3

pablo.chanduj

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                   Buenas noches estimado: Mirando la respuesta quiero consultar lo siguiente:
Cómo haces para pasar de esto \( 2-q^2>2q\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2} \) a esto \( q<q+\displaystyle\frac{1}{n} \)

                   Espero respuesta! gracias!

16 Marzo, 2021, 02:47 am
Respuesta #4

pablo.chanduj

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                  Voy a plantear el siguiente razonamiento y quiero saber si esta bien:
1. \( \forall{x}\in{A}: x^2\neq2 \)
2. \( x^2>2 \vee x^2<2 \)
3. \( 2>x^2=(t+\displaystyle\frac{1}{n})^2=t^2+2t\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}>t^2+2t\displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{nt^2+2t}{n}\Leftrightarrow{n>\displaystyle\frac{2t}{2-t^2}} \)
4. \( t>0\Rightarrow{2t>0} \)
5. \( 2-t^2>0\Leftrightarrow{2>t^2} \)
6. Conclusión: El natural n no existe por lo que el numerador (punto 4.) y denominador (punto 5.) ambos son positivos!

                  Esta bien este razonamiento¿?

16 Marzo, 2021, 09:11 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

                   Buenas noches estimado: Mirando la respuesta quiero consultar lo siguiente:
Cómo haces para pasar de esto \( 2-q^2>2q\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2} \) a esto \( q<q+\displaystyle\frac{1}{n} \)

                   Espero respuesta! gracias!

Lo que quiere razonar Juan Pablo es que si el candidato a máximo \( q \) cumple \( q^2<2 \), entonces podemos encontrar otro racional en \( A \) mayor que \( q \), contradiciendo la condición de máximo.

Ese otro racional lo buscamos de la forma \( q+\dfrac{1}{n_0} \). Queremos que:

\( \left(q+\dfrac{1}{n_0}\right)^2<2 \)

Operando equivale a:

\( \dfrac{2q}{n_0}+\dfrac{1}{n_0^2}<2-q^2 \)   (*)

Entonces tienes que justificar que puedes encontrar un natural \( n_0 \) cumpliendo (*).

Spoiler
Por ejemplo nota que:

\( \dfrac{2q}{n_0}+\dfrac{1}{n_0^2}<\dfrac{4}{n_0}+\dfrac{1}{n_0}=\dfrac{5}{n_0} \)

Basta tomar \( n_0 \) tal que \( \dfrac{5}{n_0}<2-q^2 \) es decir \( n_0>\dfrac{5}{2-q^2} \)
[cerrar]

Una vez que lo hagas, has demostrado que \( q+\dfrac{1}{n_0}\in A \). Como \( q+\dfrac{1}{n_0}>q \) entonces \( q \) no puede ser el máximo.

Los casos \( q^2\geq 2 \) que plantea Juan, son en realidad innecesarios. Si \( q \) es el máximo de \( A \) tiene que pertenecer al conjunto y los ejemplos del conjunto \( A \) cumplen \( q^2<2 \).

Saludos.

16 Marzo, 2021, 09:32 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

                  Voy a plantear el siguiente razonamiento y quiero saber si esta bien:
1. \( \forall{x}\in{A}: x^2\neq2 \)
2. \( x^2>2 \vee x^2<2 \)
3. \( 2>x^2=(t+\displaystyle\frac{1}{n})^2=t^2+2t\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}>t^2+2t\displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{nt^2+2t}{n}\Leftrightarrow{n>\displaystyle\frac{2t}{2-t^2}} \)
4. \( t>0\Rightarrow{2t>0} \)
5. \( 2-t^2>0\Leftrightarrow{2>t^2} \)
6. Conclusión: El natural n no existe por lo que el numerador (punto 4.) y denominador (punto 5.) ambos son positivos!

 Pues sinceramente me cuesta mucho decirte si está bien o mal porque ahí sólo hay una colección de cuentas.

 ¿Cómo se supone que eso que has escrito demuestra que \( A \) no tiene máximo?. Tienes que explicar lo que pretendes; como estás razonando.

Saludos.

16 Marzo, 2021, 05:43 pm
Respuesta #7

pablo.chanduj

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                  Gracias por la respuesta!

18 Marzo, 2021, 05:51 am
Respuesta #8

pablo.chanduj

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                   Buenas noche estimado: Vuelvo otra vez al tema, ahora lo estoy viendo más claro: Pero para demostrar que existe n natural, lo resolvería asi:

1. \( 2>t^2=(t+\displaystyle\frac{1}{n})^2\Leftrightarrow{2-t^2>\displaystyle\frac{1}{n^2}+2\displaystyle\frac{t}{n}} \)
2. \( \displaystyle\frac{1}{n^2}+2\displaystyle\frac{t}{n}<\displaystyle\frac{1}{n}+2\displaystyle\frac{t}{n}=\displaystyle\frac{1+2t}{n} \) Esta parte la entendi, es la que me mostraste vos!
3. \( 2-t^2>\displaystyle\frac{1+2t}{n}\Leftrightarrow{n>\displaystyle\frac{1+2t}{2-t^2}} \) Luego acá queda demostrado que existe n natural

                   Esto esta bien planteado?


18 Marzo, 2021, 07:49 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

                   Buenas noche estimado: Vuelvo otra vez al tema, ahora lo estoy viendo más claro: Pero para demostrar que existe n natural, lo resolvería asi:

1. \( 2>\color{red}t^2=\color{black}(t+\displaystyle\frac{1}{n})^2\Leftrightarrow{2-t^2>\displaystyle\frac{1}{n^2}+2\displaystyle\frac{t}{n}} \)
2. \( \displaystyle\frac{1}{n^2}+2\displaystyle\frac{t}{n}<\displaystyle\frac{1}{n}+2\displaystyle\frac{t}{n}=\displaystyle\frac{1+2t}{n} \) Esta parte la entendi, es la que me mostraste vos!
3. \( 2-t^2>\displaystyle\frac{1+2t}{n}\Leftrightarrow{n>\displaystyle\frac{1+2t}{2-t^2}} \) Luego acá queda demostrado que existe n natural

                   Esto esta bien planteado?

 Está bien; sobra eso que he marcado en rojo que creo que se te ha colado al escribir el mensaje.

Saludos.