Autor Tema: Demostrar que \((a/b)^2<2\) implica \(2< (\dfrac{a+2b}{a+b})^2\)

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14 Marzo, 2021, 01:03 am
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pablo.chanduj

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                     Buenas noches a todos: Tengo el siguiente ejercicio:
\( \text{Si } (a/b)^2<2,  \) entonces \(  2< (\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})^2 \) con a y b naturales.

                     Mi solución planteada es la siguiente:
1. \( \textrm{Si }2>r^2 \textrm{ entonces } \exists{t}\in{Q}/2<t^2\wedge r<t \)
2. \( 2<t^2=(\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})^2=\displaystyle\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^2+2ab+b^2}\Leftrightarrow{2(a^2+4ab+4b^2)<a^2+2ab+b^2}\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a^2-2b^2<0\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{a^2}{b^2}<2}\Leftrightarrow{(\displaystyle\frac{a}{b})^2<2} \)
                    Es correcta mi solución? espero respuesta! saludos cordiales a todos!

PD.: No se por qué no se separa el texto de los símbolos.
Corregido por moderador
El texto lo  escribes normal y las fórmulas con Latex, otra cosa es que dentro de la definición de una fórmula uses texto.

14 Marzo, 2021, 01:08 am
Respuesta #1

sugata

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                     Buenas noches a todos: Tengo el siguiente ejercicio:
\( \text{Si} (a/b)^2<2, entonces 2< (\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})^2 \) con a y b naturales.

                     Mi solución planteada es la siguiente:
1. \( \textrm{Si}2>r^2 \textrm{entonces} \exists{t}\in{Q}/2<t^2\wedge r<t \)
2. \( 2<t^2=(\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})^2=\displaystyle\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^2+2ab+b^2}\Leftrightarrow{2(a^2+4ab+4b^2)<a^2+2ab+b^2}\Leftrightarrow{a^2-2b^2<0}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{a^2}{b^2}<2}\Leftrightarrow{(\displaystyle\frac{a}{b})^2<2} \)
                    Es correcta mi solución? espero respuesta! saludos cordiales a todos!

PD.: No se por qué no se separa el texto de los símbolos.
Yo para separar texto, creo un espacio.
x\ es \ mayor \ que \ y
\( x\ es \ mayor \ que \ y \)

14 Marzo, 2021, 03:18 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Es tarde te pongo esto (espera a mañana para que te revisen lo que pusiste perdón por no poder revisar mejor).
\( (\dfrac{a}{b})^2< 2 \) entonces \(  (\dfrac{b}{a})^2 > \dfrac{1}{2}  \)

Editado

\( (\dfrac{a+2b}{a+b})^2 = (\dfrac{a+b+b}{a+b})^2 =(1+\dfrac{b}{a+b})^2) \color{red} < \color{black} (1+\dfrac{b}{a})^2 = 1+(\dfrac{b}{a})^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{a} =1+0.5+ 2 \cdot \sqrt{\dfrac{b}{a}} > 1+0.5+2\cdot 0.5 = 2.5  \)

14 Marzo, 2021, 07:52 am
Respuesta #3

feriva

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                     Buenas noches a todos: Tengo el siguiente ejercicio:
\( \text{Si} (a/b)^2<2,  \) entonces \(  2< (\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})^2 \) con a y b naturales.

                     Mi solución planteada es la siguiente:
1. \( \textrm{Si}2>r^2 \textrm{entonces} \exists{t}\in{Q}/2<t^2\wedge r<t \)
2. \( 2<t^2=(\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})^2=\displaystyle\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^2+2ab+b^2}\Leftrightarrow{2(a^2+4ab+4b^2)<a^2+2ab+b^2}\Leftrightarrow{a^2-2b^2<0}\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{a^2}{b^2}<2}\Leftrightarrow{(\displaystyle\frac{a}{b})^2<2} \)
                    Es correcta mi solución? espero respuesta! saludos cordiales a todos!


Sí; entiendo que es correcta, viene a ser esto lo que dices:

\( (\dfrac{a}{b})^{2}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}
  \),

Entonces lal condición es:

\( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}<2\Rightarrow a^{2}<2b^{2}
  \).

Ahora

\( 2<({\displaystyle \frac{a+2b}{a+b})^{2}}\Rightarrow2a^{2}+2b^{2}+4ab<a^{2}+4b^{2}+4ab
  \).

Cancelando 4ab tenemos

\( 2a^{2}+2b^{2}<a^{2}+4b^{2}\Leftrightarrow
 
  \)...

Y finalmente, despejando

\( a^{2}<2b^{2}
  \)

Que es lo que queríamos demostrar.

Saludos.

14 Marzo, 2021, 09:12 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Es tarde te pongo esto (espera a mañana para que te revisen lo que pusiste perdón por no poder revisar mejor).
\( (\dfrac{a}{b})^2< 2 \) entonces \(  (\dfrac{b}{a})^2 > \dfrac{1}{2}  \)

\( (\dfrac{a+2b}{a+b})^2 = (\dfrac{a+b+b}{a+b})^2 =\color{red}(1+\dfrac{b}{a+b})^2)>(1+\dfrac{b}{a})^2 \color{black}= 1+(\dfrac{b}{a})^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{a} =1+0.5+ 2 \cdot \sqrt{\dfrac{b}{a}} > 1+0.5+2\cdot 0.5 = 2.5  \)

 El estado de somnolencia hizo efecto: la deisgualdad desigualdad que marco en rojo sería al revés.  ;)

 
1. \( \textrm{Si }2>r^2 \textrm{ entonces } \exists{t}\in{Q}/2<t^2\wedge r<t \)
2. \( 2<t^2=(\displaystyle\frac{a+2b}{a+b})^2=\displaystyle\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^2+2ab+b^2}\Leftrightarrow{\color{red}2(a^2+4ab+4b^2)<a^2+2ab+b^2\color{black}}\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a^2-2b^2<0\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{a^2}{b^2}<2}\Leftrightarrow{(\displaystyle\frac{a}{b})^2<2} \)

 Hay una errata ahí, intercambiando los términos. Pero por lo demás las está bien.

Saludos.

CORREGIDO

14 Marzo, 2021, 11:52 am
Respuesta #5

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
El estado de somnolencia hizo efecto: la deisgualdad que marco en rojo sería al revés.  ;)
Pero por lo demás las está bien.

Parece que Juan Pablo no era el único en estado de somnolencia  :) :) :).


14 Marzo, 2021, 01:01 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Parece que Juan Pablo no era el único en estado de somnolencia  :) :) :).

Si; lo mío es peor porque en teoría estaba perfectamente despierto: no tengo excusa.

Saludos.

14 Marzo, 2021, 04:21 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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Ostras que zoquete, gracias por la mirada ahora lo cambio.