Autor Tema: Ser diferenciable implica ser continua

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13 Marzo, 2021, 10:17 am
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Marcos Castillo

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Hola, estimado RM

Tengo un texto, y unas dudas. Primero el texto, y luego las dudas:

"TEOREMA 1 Ser diferenciable implica ser continua

Si \( f \) es diferenciable en \( x \), sabemos que existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x) \)

Utilizando las reglas de los límites (Teorema 2 de la sección 1.2),

Spoiler
TEOREMA 2 Reglas para los límites

Si \( \lim_{x \to {a}}{f(x)}=L \), \( \lim_{x \to {a}}{g(x)}=M \), y \( k \) es una constante, entonces

1. Límite de la suma: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)+g(x)]}=L+M \)

2. Límite de una diferencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)-g(x)]}=L-M \)

3. Límite de un producto: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)g(x)}=LM \)

4. Límite de una multiplicación por una constante: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{kf(x)}=kL \)

5. Límite de un cociente: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{L}{M} \), si \( M\neq 0 \)

Si \( m \) es un entero y \( n \) un entero positivo, entonces

6. Límite de una potencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)^{m/n}]}=L^{m/n} \) siempre que \( L>0 \) cuando \( n \) sea par, y \( L\neq 0 \) si \( m<0 \)

Si \( f(x)\leq{g(x)} \) en un intervalo que contiene a \( a \) en su interior, entonces

7. Conservación del orden \( L\leq{M} \)

[cerrar]

tenemos que

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f(x+h)-f(x))}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left ({\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\right )(h)}=(f'(x))(0)=0 \)

Esto es equivalente a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=f(x) \), lo que indica que \( f \) es continua en \( x \)."


Es la última frase lo que no entiendo. La única forma que tengo de entenderlo es afirmar \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x)} \):

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x)}+\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(h)}=f'(x)+f'(h) \); como \( h\in \mathbb R \setminus \{ 0\} \), \( f'(h)=0 \).

¿Correcto? ¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

13 Marzo, 2021, 11:16 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Es la última frase lo que no entiendo. La única forma que tengo de entenderlo es afirmar \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x)} \): \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x)}+\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(h)}=f'(x)+f'(h) \); como \( h\in \mathbb R \setminus \{ 0\} \), \( f'(h)=0 \).

No puedes escribir \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x)}+\displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(h)} \) pues no tiene por qué verificarse que \( f(x+h)=f(x)+f(h) \).
El asunto es así de simple:

        \( f(x+h)-f(x)=\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h} h \)   (si \( h\ne 0 \)).

Tomando límites:

        \( \displaystyle\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x)]=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lim_{h \to 0}h=f^\prime (x)\cdot 0=0 \),

con lo cual, \( \displaystyle\lim_{h \to 0} f(x+h)=f(x) \) y por tanto, \( f \) es continua en \( x \).

P.D. Te puede ser útil el apartado 7 de http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/18/concepto-de-derivada/. Creo que es más clara la notación.

13 Marzo, 2021, 02:07 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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P.D. Te puede ser útil el apartado 7 de http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/18/concepto-de-derivada/. Creo que es más clara la notación.


¡Hola Fernando Revilla! Mucho más claro.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)