Autor Tema: Incompletitud de Q

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12 Marzo, 2021, 12:40 am
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pablo.chanduj

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                Buenas tardes a todos: Tengo el siguiente ejercicio: r es racional y dado el racional t
\( r\in{Q}\wedge r^2<2 \wedge t=\displaystyle\frac{4r}{r^2+2} \)
Muestre que:
\( r<t \wedge t^2<2 \)

                Mi solución planteada es la siguiente: Reducción al absurdo:
1. \( r>t=\displaystyle\frac{4r}{r^2+2} \Leftrightarrow{r^3+2r>4r}\Leftrightarrow{r(r^2-2)>0} \)
                Del punto 1. se deduce lo siguiente:

2. \( r>0 \)

3. \( r^2-2>0\Leftrightarrow{r^2>2} \)

4. \( \textrm{De manera que: El punto 2. es valido, pero el punto 3. contradice al enunciado. De manera que r<t y queda demostrado} \)

\( \textrm{Cómo hago para demostrar lo siguiente: } t^2<2 \)

12 Marzo, 2021, 12:59 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Toma \( r=0 \) y \( r=-1 \)

12 Marzo, 2021, 01:18 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

Otra forma :

Demuestra que \( 2-t^2>0\Leftrightarrow{2-\displaystyle\frac{16r^2}{r^4+4r^2+4}>0} \), el denominador siempre es positivo, para que se cumpla la desigualdad r ha de cumplir condiciones para que el numerador sea positivo, efectuando y factorizando se llega a : \( \displaystyle\frac{2(r^2-2)^2}{r^4+4r^2+4}>0 \) saca conclusiones





Saludos