Autor Tema: Cómo lidiar con una integral en un limite de integración (TFC1)

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10 Marzo, 2021, 01:03 pm
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mathman

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Me piden diferenciar esta función:

\(
g(x)=\int^{\int^{x}_{2}{\csc{(u)}\ du}}_{1}{\big[1+\sen{(1+t)\big]}}\ dt.
 \)

Para diferenciarla uso esta variación de la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo:

\(
\frac{d}{dx}\int^{u(x)}_{a}{f(t)}\ dt=u'(x)f\big[u(x)\big].
 \)

Y al aplicarla obtengo lo siguiente:

\(
\frac{d}{dx}\int^{\int^{x}_{2}{\csc{(u)}\ du}}_{1}{\big[1+\sen{(1+t)\big]}}\ dt = \frac{d}{dx}\int^{x}_{2}{\csc{(u)}}\ du \cdot \big[1+\sen{(1+\int^x_2{\csc{(u)}}\ du)}\big] = \csc{(x)} \cdot \big[1+\sen{(1+\int^x_2{\csc{(u)}}\ du)}\big].
 \)

¿Es esto una respuesta correcta y satisfactoria?

10 Marzo, 2021, 01:16 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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¿Es esto una respuesta correcta y satisfactoria?

Sí, lo es. Puedes rematar la faena con \( \displaystyle\int({\csc {u}})\ du=\ldots=-\log \left |{\cot u +\csc u}\right |+C \).

10 Marzo, 2021, 01:32 pm
Respuesta #2

mathman

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Gracias, Fernando. Entonces la respuesta es

\(
\csc{x} \cdot \big[1+\sen{(1+\int^x_2{\csc{u}}\ du)}\big] = \csc{x} \cdot \big[1+\sen{\big(1-\log{|\cot{x}+\csc{x}|}+\log{|\cot{(2)}+\csc{(2)}|}\big)}\big].
 \)

Edición: puse las barras de valor absoluto y quité la constante de integración.

10 Marzo, 2021, 04:17 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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Gracias, Fernando. Entonces la respuesta es
\(
\csc{x} \cdot \big[1+\sen{(1+\int^x_2{\csc{u}}\ du)}\big] = \csc{x} \cdot \big[1+\sen{\big(1-\log{|\cot{x}+\csc{x}|}+\log{|\cot{(2)}+\csc{(2)}|}+c\big)}\big].
 \)
Edición: puse las barras de valor absoluto y la constante de integración.

La constante de integración \( C \) ahora sobra. Era para la indefinida

10 Marzo, 2021, 10:48 pm
Respuesta #4

mathman

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