Autor Tema: Ayuda con matrices de monodromía

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09 Marzo, 2021, 01:44 pm
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Asdfgh

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Necesito ayuda con estos apartados de un ejercicio que no sé demostrar:

Sea \( A:\mathbb{R}\to \mathcal{M}_d(\mathbb{R}) \) continua y T-periódica donde \( T>0 \) y sea \( \phi:\mathbb{R}\to \mathcal{M}_d(\mathbb{R}) \) la matriz fundamental principal en \( t=0 \) de la ecuación diferencial lineal homogénea \( x'=A(t)\cdot x \)

Llamamos matriz de monodromía a la \( M \) tal que \( \phi(t+T)=\phi(t)\cdot M \) para todo \( t \in \mathbb{R} \)
 
(1) Probar que \( x'=A(t)\cdot x \) es asintóticamente estable \( \Longleftrightarrow{} \) \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{M^n}=O \)

(2) Probar que \( x'=A(t)\cdot x \) es estable \( \Longleftrightarrow{} \) la sucesión \( \{M^n:n\in \mathbb{N}\} \) es acotada.

Gracias por su atención.