Autor Tema: Regla general de la cadena

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07 Marzo, 2021, 04:20 pm
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Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola, RM

La duda no está en la demostración, sino en la naturaleza de una expresión que aparece de paso. Primero el texto, y luego la duda:

Si \( f(x)=x^r \), entonces \( f'(x)=rx^{r-1} \)

Esta fórmula, que verificaremos en la sección 3.3, es válida para todos los valores de \( r \) y \( x \) para los que \( x^{r-1} \) tenga sentido como número real

(...)

Posteriormente demostraremos todos los casos de la regla general de la potencia. Por ahora ofrecemos una demostración del caso \( r=n \), un entero positivo, basada en la factorización de una diferencia de potencias n-ésimas:

\( a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) \)

(Compruebe que la fórmula es correcta multiplicando los dos factores del miembro derecho). Si \( f(x)=x^n \), \( a=x+h \) y \( b=x \), entonces \( a-b=h \) y


\( f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}} \)
      \( =\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{h\overbrace{[(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^2+...+x^{n-1}]}^{\mbox{n términos}}}{h}} \)
      \( =nx^{n-1} \)


La duda es respecto a la expresión \( a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1} \). No es el binomio de Newton: faltan los coeficientes binomiales. Entonces, ¿qué es?.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

07 Marzo, 2021, 04:28 pm
Respuesta #1

pierrot

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La duda es respecto a la expresión \( a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1} \). No es el binomio de Newton: faltan los coeficientes binomiales. Entonces, ¿qué es?.

Es el cociente de \( P(a)=a^n-b^n \) entre \( D(a)=a-b \), es decir, puedes llegar a esa expresión aplicando la división usual de polinomios. Es claro que \( P \) va a ser divisible entre \( D \) puesto que \( a=b \) es raíz de \( P \) (teorema de Descartes).
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07 Marzo, 2021, 06:41 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias, pierrot! Ya me estaba liando con el binomio de Newton.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

07 Marzo, 2021, 10:04 pm
Respuesta #3

pierrot

  • pabloN
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¡Muchas gracias, pierrot! Ya me estaba liando con el binomio de Newton.
¡Un saludo!

De nada, Marcos  :).

Nota también que la fórmula

\( a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \)

es una generalización de otra muy conocida: \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) (de hecho, la primera puede demostrarse por inducción y el caso base se reduciría a esta identidad elemental entre expresiones algebraicas).
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