Autor Tema: ¿Cuáles son los beneficios de la notación Bra-Ket?

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04 Marzo, 2021, 10:25 pm
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FerOliMenNewton

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Hola a todos,
Soy estudiante de matemáticas pero éste semestre estoy llevando un curso introductorio de computación cuántica. Para empezar, me parece sorprendente(en el buen sentido) que lo único que uno tiene que saber para llevar un curso introductorio es álgebra lineal y nociones básicas de análisis funcional. Sin embargo, lo que me parece un poco confuso, es la notación.
En todos los libros que he estado viendo, denotan a los elementos de un espacio de Hilbert \( H \), mediante los ket, es decir, un elemento en el espacio de Hilbert se denota por \(  | \psi \rangle \), y a estos se les identifica en \( \mathbb{C}^{n} \) mediante los vectores verticales, también se tiene algo llamado bra, y  el bra de un vector \(  | \psi \rangle=[a_{1},...,a_{n}]^T \) , se le identifica con \( \langle  \psi |  \)
y está dado por \(  | \psi \rangle=[\overline{a_{1}},...,\overline{a_{n}}] \). Estos bra's y ket's se usan a la hora de representar operadores y de más. Sin embargo, no logró ver por qué se introdujo esta notación, ¿acaso la notación tradicional tiene algo de malo a la hora de estudiar estas cosas?,¿qué ventajas tiene usar esta notación que la notación estándar no?.
Esperaba que alguien pudiera platicarme un poco al respecto, ya que lo único que me han dicho los físicos a los que les he preguntado es que esta notación es muy natural, pero a mí no me lo parece tanto , o al menos no más que la notación estándar.
Saludos.

04 Marzo, 2021, 10:36 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Yo tuve la misma duda cuando cursé mecánica cuántica. Me parece que puede ser para distinguir los funcionales en Espacios de Hilbert de funciones usuales, no le veo más. Para mí, es lo mismo que ponerle flechita a un vector, sirve para que sin necesidad de mayor contexto sepamos qué estamos operando.

04 Marzo, 2021, 11:01 pm
Respuesta #2

geómetracat

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La notación tradicional en matemáticas no tiene nada de malo, y la puedes usar para hacer lo mismo que con la bra-ket. Yo diría que es fundamentalmente una cuestión cultural.

Una ventaja (o no, depende) es que esa notación hace explícito el hecho de que en un espacio de Hilbert hay un isomorfismo \[ H\to H^* \] dado por \[ u \mapsto \langle u, \cdot \rangle \]. Vamos, que cualquier funcional lineal en \[ H \] es el producto escalar por un elemento de \[ H \]. La notación incorpora ese hecho y te evita tener que pensar en términos de funcionales lineales, trabajando directamente con bra's, que son los duales de los ket's (vectores).

Por otro lado, otra ventaja es que al estar claramente delimitado el símbolo en los kets puedes usar "etiquetas" descriptivas. Es muy habitual por ejemplo en sistemas de dos partículas ver kets de la forma \[ \mid +- \rangle \] (que representa una partícula con espín + y otra con espín -), o por ejemplo para electrones en un átomo el puedes meter los números cuánticos en el ket como \[ \mid n,l,m \rangle \], cosa que es más difícil de escribir con la notación habitual.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)