Autor Tema: Límites

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04 Marzo, 2021, 09:30 pm
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Montycanario

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Hola, hablo a nivel de bachillerato. Tengo dos preguntas.

1) Donde está la demostración de porqué para resolver indeterminaciones del tipo \( 1^\infty \), se aplica la famosa fórmula de \( e^{\lim g(x)(f(x)-1)} \) ?

2) En los límites cuando \( x\to \infty \) de funciones racionales, siempre aprendí que al dividir por el término de mayor grado se deshacía la indeterminación, sin embargo he visto en varios libros que se divide por el término de mayor grado DEL DENOMINADOR. En algunos casos, hacerlo de una manera o de la otra arroja resultados diferentes. ¿Cuál es la correcta y en qué se basa? Gracias


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04 Marzo, 2021, 09:45 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Montycanario. Me parece mejor que escribas ejemplos específicos y acá los analizamos. Sería especialmente importante que escribas esos ejemplos donde obtienes resultados distintos.

04 Marzo, 2021, 11:17 pm
Respuesta #2

Montycanario

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\[ \displaystyle\frac{6x^3}{\sqrt[3 ]{3x^2-7}} \]  se trata de calcular el límite cuando x tiende a -infinito. El libro divide por  \[ x^{2/3} \] y le da \[ -\infty \], pero si yo lo divido por \[ x^3 \] me da \[ +\infty \]

05 Marzo, 2021, 12:38 am
Respuesta #3

mathtruco

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Cómo lo resolvería yo:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{x^2\left(3-\dfrac{7}{x^2}\right)}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{x^{2/3}\sqrt[3]{3-\dfrac{7}{x^2}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^{7/3}}{\sqrt[3]{3-\dfrac{7}{x^2}}} \)

El numerador tiende a \( -\infty \) y el denominador a \( 3^{1/3} \) (una constante positiva), y por eso el resultado es \( -\infty \).


Con lo que sugieres:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3\frac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x^3}\sqrt[3]{3x^2-7}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{3\dfrac{x^2}{x^9}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{\dfrac{3}{x^7}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

por lo que, cuando \( x\to-\infty \), en el denominador tienes \( -\infty+\infty \), lo que es indeterminado, por lo que no puedes concluir nada.


En resumen, la regla que expones (la de los grados de los polinomios) sirve sólo cuando tienes polinomios en el numerador como en el denominador, caso que acá no es.

Si quieres seguir el desarrollo del libro lo que debes analizar el comportamiento en el infinito del numerador y denominador. En el infinito, el numerador se comporta como \( 6x^3 \), pero el numerador como \( \sqrt[3]{3x^2-7}\rightarrow\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3} \) (nota que el 2/3 es el número que sugiere el libro), ya que ese -7 no no es nada comparado con un \( \infty \). Te dejo como tarea resolver el problema como sugiere el libro.

-------------
Antes de seguir posteando, revisa cómo escribir las ecuaciones correctamente en este tutorial.

05 Marzo, 2021, 05:36 am
Respuesta #4

hméndez

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Cómo lo resolvería yo:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{x^2\left(3-\dfrac{7}{x^2}\right)}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{x^{2/3}\sqrt[3]{3-\dfrac{7}{x^2}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^{7/3}}{\sqrt[3]{3-\dfrac{7}{x^2}}} \)

El numerador tiende a \( -\infty \) y el denominador a \( 3^{1/3} \) (una constante positiva), y por eso el resultado es \( -\infty \).


Con lo que sugieres:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3\frac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x^3}\sqrt[3]{3x^2-7}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{3\dfrac{x^2}{x^9}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{\dfrac{3}{x^7}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

por lo que, cuando \( x\to-\infty \), en el denominador tienes \( -\infty+\infty \), lo que es indeterminado, por lo que no puedes concluir nada.


En resumen, la regla que expones (la de los grados de los polinomios) sirve sólo cuando tienes polinomios en el numerador como en el denominador, caso que acá no es.

Si quieres seguir el desarrollo del libro lo que debes analizar el comportamiento en el infinito del numerador y denominador. En el infinito, el numerador se comporta como \( 6x^3 \), pero el numerador como \( \sqrt[3]{3x^2-7}\rightarrow\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3} \) (nota que el 2/3 es el número que sugiere el libro), ya que ese -7 no no es nada comparado con un \( \infty \). Te dejo como tarea resolver el problema como sugiere el libro.

-------------
Antes de seguir posteando, revisa cómo escribir las ecuaciones correctamente en este tutorial.

¡Ojo mathtruco, tienes un error en este último limite que calculas. Es de la forma \( \dfrac{6}{0^-}\rightarrow{-\infty} \)

Saludos

05 Marzo, 2021, 09:45 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola, hablo a nivel de bachillerato. Tengo dos preguntas.

1) Donde está la demostración de porqué para resolver indeterminaciones del tipo \( 1^\infty \), se aplica la famosa fórmula de \( e^{\lim g(x)(f(x)-1)} \) ?

Mira por aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=36902.0

2) En los límites cuando \( x\to \infty \) de funciones racionales, siempre aprendí que al dividir por el término de mayor grado se deshacía la indeterminación, sin embargo he visto en varios libros que se divide por el término de mayor grado DEL DENOMINADOR. En algunos casos, hacerlo de una manera o de la otra arroja resultados diferentes. ¿Cuál es la correcta y en qué se basa? Gracias

Desde luego a resultados diferentes NO se va a llegar si se hacen las cosas bien.

En el ejemplo que pones y aprovechando las cuentas de mathtruco, dividiendo por el término de mayor grado queda:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3\frac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x^3}\sqrt[3]{3x^2-7}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{3\dfrac{x^2}{x^9}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{\dfrac{3}{x^7}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

En el numerador queda \( 6 \) y en el denominador \( 0 \). El único matiz es que no podemos decidir aún si el límite es MÁS infinito o MENOS infinito. Pero para ello basa observar que en la expresión inicial \( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}} \) para \( x \) suficientemente negativo, el numerador es negativo y el denominador positivo. Por tanto el límite es menos infinito.

Saludos.

05 Marzo, 2021, 04:21 pm
Respuesta #6

mathtruco

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Cómo lo resolvería yo:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{x^2\left(3-\dfrac{7}{x^2}\right)}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{x^{2/3}\sqrt[3]{3-\dfrac{7}{x^2}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^{7/3}}{\sqrt[3]{3-\dfrac{7}{x^2}}} \)

El numerador tiende a \( -\infty \) y el denominador a \( 3^{1/3} \) (una constante positiva), y por eso el resultado es \( -\infty \).


Con lo que sugieres:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3\frac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x^3}\sqrt[3]{3x^2-7}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{3\dfrac{x^2}{x^9}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{\dfrac{3}{x^7}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

por lo que, cuando \( x\to-\infty \), en el denominador tienes \( -\infty+\infty \), lo que es indeterminado, por lo que no puedes concluir nada.


En resumen, la regla que expones (la de los grados de los polinomios) sirve sólo cuando tienes polinomios en el numerador como en el denominador, caso que acá no es.

Si quieres seguir el desarrollo del libro lo que debes analizar el comportamiento en el infinito del numerador y denominador. En el infinito, el numerador se comporta como \( 6x^3 \), pero el numerador como \( \sqrt[3]{3x^2-7}\rightarrow\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3} \) (nota que el 2/3 es el número que sugiere el libro), ya que ese -7 no no es nada comparado con un \( \infty \). Te dejo como tarea resolver el problema como sugiere el libro.

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Antes de seguir posteando, revisa cómo escribir las ecuaciones correctamente en este tutorial.

¡Ojo mathtruco, tienes un error en este último limite que calculas. Es de la forma \( \dfrac{6}{0^-}\rightarrow{-\infty} \)

Saludos

Tienes razón hméndez, entre tanta cuenta chica erré ahí, pero tampoco es lo que escribiste, sería de la forma  \( \dfrac{6}{0^-+0^+} \), que no sabemos a qué converge tal como está. Luis nos explicó una forma de decidir que había una forma de decidir que es \( -\infty \).


Sinceramente Luis, aunque me parece razonable el procedimiento que expones, yo no lo había visto antes, y no sé si al profesor de Montycanario le convenza. Yo le sugeriría resolver el ejercicio como lo expliqué inicialmente o como sugiere el libro.

05 Marzo, 2021, 05:00 pm
Respuesta #7

hméndez

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Cómo lo resolvería yo:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{x^2\left(3-\dfrac{7}{x^2}\right)}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{x^{2/3}\sqrt[3]{3-\dfrac{7}{x^2}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^{7/3}}{\sqrt[3]{3-\dfrac{7}{x^2}}} \)

El numerador tiende a \( -\infty \) y el denominador a \( 3^{1/3} \) (una constante positiva), y por eso el resultado es \( -\infty \).


Con lo que sugieres:

\( \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3}{\sqrt[3]{3x^2-7}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6x^3\frac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x^3}\sqrt[3]{3x^2-7}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{3\dfrac{x^2}{x^9}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

                                \( =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{6}{\sqrt[3]{\dfrac{3}{x^7}-\dfrac{7}{x^9}}} \)

por lo que, cuando \( x\to-\infty \), en el denominador tienes \( -\infty+\infty \), lo que es indeterminado, por lo que no puedes concluir nada.


En resumen, la regla que expones (la de los grados de los polinomios) sirve sólo cuando tienes polinomios en el numerador como en el denominador, caso que acá no es.

Si quieres seguir el desarrollo del libro lo que debes analizar el comportamiento en el infinito del numerador y denominador. En el infinito, el numerador se comporta como \( 6x^3 \), pero el numerador como \( \sqrt[3]{3x^2-7}\rightarrow\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3} \) (nota que el 2/3 es el número que sugiere el libro), ya que ese -7 no no es nada comparado con un \( \infty \). Te dejo como tarea resolver el problema como sugiere el libro.

-------------
Antes de seguir posteando, revisa cómo escribir las ecuaciones correctamente en este tutorial.

¡Ojo mathtruco, tienes un error en este último limite que calculas. Es de la forma \( \dfrac{6}{0^-}\rightarrow{-\infty} \)

Saludos

Tienes razón hméndez, entre tanta cuenta chica erré ahí, pero tampoco es lo que escribiste, sería de la forma  \( \dfrac{6}{0^-+0^+} \), que no sabemos a qué converge tal como está....

Fíjate bien los ordenes de magnitud, quien domina o gobierna el signo es el primero de orden 7 el de orden 9 tiende más rápidamente a 0 y esa suma algebraica siempre es negativa (viéndolos como infinitesimos claro) ¿puedes verlo ?

Saludos

05 Marzo, 2021, 05:27 pm
Respuesta #8

mathtruco

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Fíjate bien los ordenes de magnitud, quien domina o gobierna el signo es el primero de orden 7 el de orden 9 tiende más rápidamente a 0 y esa suma algebraica siempre es negativa (viéndolos como infinitesimos claro) ¿puedes verlo ?

Saludos

Sí puedo verlo, y me convence, pero nunca vi un teorema que lo justifique en el curso de cálculo 1, y es por eso que dejé el ejercicio hasta ahí y sugerí el otro camino.

Ojo, no quiero ser más papista que el papa, pero al menos a mí de estudiante no estoy seguro si me hubieran dejado usar un argumento así, por eso le hago el quite a esos argumentos. Me pasa lo mismo con el argumento expuesto por Luis.

05 Marzo, 2021, 10:49 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Tienes razón hméndez, entre tanta cuenta chica erré ahí, pero tampoco es lo que escribiste, sería de la forma  \( \dfrac{6}{0^-+0^+} \), que no sabemos a qué converge tal como está. Luis nos explicó una forma de decidir que había una forma de decidir que es \( -\infty \).

Sinceramente Luis, aunque me parece razonable el procedimiento que expones, yo no lo había visto antes, y no sé si al profesor de Montycanario le convenza. Yo le sugeriría resolver el ejercicio como lo expliqué inicialmente o como sugiere el libro.

 No lo sé. El argumento que he usado es bastante autocontenido; y es concluyente. No me saco nada de la manga. Se podría escribir más detallado, pero igual que otro tipo de argumentos que se usan en el cálculo del límite.

 No obstante mi intención era resaltar que no se obtienen resultados distintos por dividir por la mayor potencia del numerador o denominador; se trata de interpretar los resultados correctamente.

Saludos.