Autor Tema: Diferentes métodos para hallar la transformada Z de \(f(n)=n-1\)

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03 Marzo, 2021, 08:05 pm
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manooooh

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Hola!

Hallar la transformada Z de \(f(n)=n-1\).



Lo quiero intentar de dos formas distintas usando dos propiedades distintas en cada caso:

1) Usando linealidad.

2) Usando la propiedad de desplazamiento temporal (lateral) a derecha.

Con 1) queda que \( Z[f(n)]=Z[n]-Z[1] \) y esto por tabla resulta \[ Z[f(n)]=\frac{z}{(z-1)^2}-\frac{z}{z-1} \].

Ahora con 2) resulta que la función está desplaza 1 unidad hacia la derecha, luego por la propiedad podríamos decir que \[ Z[f(n)]=z^{-1}Z[n]=\frac{1}{z}\frac{z}{(z-1)^2} \], que claramente difiere con el primer resultado.

Lo que intuyo que está ocurriendo es algo similar a lo planteado en este hilo: Hallar la transformada de Laplace de \( f(t)=(t-3)^2 \) con \( t>3 \)-

Entonces con 1) estoy calculando para \( n>0 \) y en 2) con \( n>1 \), ¿es esto correcto?

Si es así, ¿cómo debo utilizar correctamente las funciones para que los resultados coincidan? Intenté repasar el hilo citado pero no logro darme cuenta con este ejemplo.

Gracias!!
Saludos

04 Marzo, 2021, 01:11 am
Respuesta #1

Abdulai

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Cuando hacés un desplazamiento hay que tener cuidado porque en las tablas, en la transformada \( X(z) \) se considera la sumatoria entre \( 0 \) e \( \infty \). Y según como sea el desplazamiento vas a estar perdiendo o agregando valores.

Una manera de verlo es trabajando con la definición:

\( Z(f(n-1)) = -1 + 0\,z^{-1} + 1\,z^{-2} + 2\,z^{-3} + 3\,z^{-4} \cdots = -1+z^{-1}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n\,z^{-n}=-1+z^{-1}Z(f(n)) \)

Fijate que te estabas perdiendo el \( -1 \) y ahora coincide con el resultado anterior, ya que:  \( \dfrac{z}{(z-1)^2}-\dfrac{z}{z-1}=\dfrac{2z-z^2-1+1}{(z-1)^2}= \dfrac{1}{(z-1)^2}-1 \)


Saludos.

04 Marzo, 2021, 04:20 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola Abdulai, la respuesta muy concisa :aplauso:

Quería preguntarte cómo definís a la función \( f(n) \) y cómo usás la definición de la transformada, porque no me estaría dando cuenta:


Una manera de verlo es trabajando con la definición:

\( Z(f(n-1)) = -1 + 0\,z^{-1} + 1\,z^{-2} + 2\,z^{-3} + 3\,z^{-4} \cdots = -1+z^{-1}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n\,z^{-n}=-1+z^{-1}Z(f(n)) \)

Si definimos \( f(n)=n \) para \( n\geq0 \) tenemos que:

\[ Z[f(n)]=\sum_{n=0}^\infty f(n)z^{-n}=f(0)z^{-0}+f(1)z^{-1}+\cdots=0+\frac{1}{z}+\cdots \]

Saludos

04 Marzo, 2021, 05:38 pm
Respuesta #3

Abdulai

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La definición es sumando de \( 0 \) a \( \infty \)

Si hacés un traslado  \( f(n-1)\;, n\geq 0\;\;\rightarrow\;\;f(n)\; ,n\geq 0 \)  se te pierde el primer término. 

Acá la traslación debe ser \( Z(f(n-1))=f(-1)+z^{-1}Z(f(n)) \)

Lo que pasa es que la tabla que usaste asume \( f(-1)=0 \)


Saludos

15 Marzo, 2021, 03:48 pm
Respuesta #4

manooooh

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La definición es sumando de \( 0 \) a \( \infty \)

Si hacés un traslado  \( f(n-1)\;, n\geq 0\;\;\rightarrow\;\;f(n)\; ,n\geq 0 \)  se te pierde el primer término. 

Acá la traslación debe ser \( Z(f(n-1))=f(-1)+z^{-1}Z(f(n)) \)

Lo que pasa es que la tabla que usaste asume \( f(-1)=0 \)

Entiendo. Muchas gracias!

Saludos