Autor Tema: Problema de Stokes en tres dimensiones

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03 Marzo, 2021, 03:27 am
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Steven_Math

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Buenas noches, he estado resolviendo la siguiente ecuación pero no he podido:

 
\(
\begin{cases}{-v\Delta u+\nabla p=f}&\text{en}& \Omega \\
\text{div} u=0 & \text{en}& \Omega\\u=0 & \text{en}& \partial\Omega\end{cases}
 \)

y
                               \( \displaystyle\int_{\Omega}p(r,z)r dr dz=0 \)

Debo encontrar un ejemplo de funciones \( u(r,z) \) y \( p(r,z) \) que satisfagan las ecuaciones anteriores, les agradezco su gran ayuda.

03 Marzo, 2021, 04:50 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Steven_Math. Es mucho más fácil de lo que crees. Evitando el ejemplo trivial (donde todas las funciones son la nula):

Considera cualquier presión con integral nula. Por ejemplo, elige cualquier función (derivable) \( \tilde p(x) \) y define

    \( p(x)=\tilde p(x)-\dfrac{1}{|\Omega|}\displaystyle\int_\Omega \tilde p(x)dx \).

Obviamente \( p \) definida así tendrá integral nula. Puedes elegir un polinomio por simplicidad, aunque da igual.

Ahora elige una función \( u \) con divergencia nula y que sea cero en la frontera de \( \Omega \).  Podrías elegir velocidad nula, pero sería demasiado trivial. Si quieres pensar algo menos trivial, puedes pensar en un polinomio que, que por supuesto, dependerá del dominio  \( \Omega \).

Por último, teniendo \( u \) y \( p \) los reemplazas en tu primera ecuación y obtendrás \( f \).

03 Marzo, 2021, 07:22 pm
Respuesta #2

mathtruco

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Una solución menos trivial para la velocidad:

    \( \begin{cases}
u_1(x,y,z)=x^2y(x-1)^2(y-1)(2y-1)
\\
u_2(x,y,z):=-u_1(y,x)
\\
u_3(x,y,z)=0
\end{cases}
 \)

Si buscas cualquier paper de análisis numérico que trabaje con la ecuación de Stokes tendrá que darse como primer ejemplo un problema con solución exacta conocida donde velocidad tenga divergencia nula. En algunos de ellos también buscarán que la condición Dirichlet sea nula.

P.D. Olvidé mencionar que el dominio es el cubo unitario: \( \Omega=(0,1)^3 \).

03 Marzo, 2021, 10:41 pm
Respuesta #3

Steven_Math

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Muchas gracias Mathtruco,
¿podría considerar las funciones:

   \( p(x,y)=(x-1/2)(y-1/2) \  \ \text{y} \   \ u(x,y)=\begin{pmatrix} -256x^{2}(x-1)^2y(y-1)(2y-1)  \\  256y^2(y-1)^2x(x-1)(2x-1) \end{pmatrix} , \ \Omega=(0,1)^2 \)?

04 Marzo, 2021, 02:34 am
Respuesta #4

mathtruco

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Claro, es un ejemplo que aparecen en muchos papers (en particular uno mío  ;D )

05 Marzo, 2021, 03:17 am
Respuesta #5

Steven_Math

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Me parece interesante que tengas papers en este tema.
Yo estoy afianzando en este tema, sobre todo para implementar el método  de elementos  finitos  en Feenic's.
Si no es mucha molestia, te agradezco que me envíes  documentos  que puedan servir para ir avanzando en estos temas.
Mi correo electrónico  es: bra981249@gmail.com.

Saludos.

05 Marzo, 2021, 04:53 am
Respuesta #6

mathtruco

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No creo poder ayudarte con material. Alguna vez intenté usar Fenics, pero tuve líos con versiones de python y documentación no actualizada de su página. Pretendo volver al intentarlo cuando lo requiera. Lo que he hecho es con códigos hechos en casa.

Pero cuando tengas dudas específicas las puedes postear en el foro.

Buena suerte.