Autor Tema: Soluciones de una ecuación diferencial.

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02 Marzo, 2021, 08:09 pm
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S.S

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Hola a todos, tengo un par de dudas, a ver si pueden ayudarme.
Viendo el siguiente resultado me surgieron dos preguntas.
Sean \( \phi \) y \( \gamma \) dos soluciones del sistema \( x^{\prime}=A(t)x \), \( x \in \mathbb{R}^n \). Si \( a,b \in \mathbb{R} \), entonces \( a\phi + b\gamma \) tambien  es solución.

Mis preguntas son:
1. ¿Cuando se dice que Sean \( \phi \) y \( \gamma \) dos soluciones del sistema \( x^{\prime}=A(t)x \), estamos hablando que satisfacen el sistema para cualquier condición inicial?
2. ¿Como pueden haber 2 soluciones? Por ejemplo si tomo el sistema con \( A(t) = a \in \mathbb{R} \), las soluciones al sistema \( x^{\prime}=A(t)x \), son de la forma (sino estoy errado) \( x(s)e^{a(t-s)}, s, t \in \mathbb{R} \). ¿Que otra solución puede haber para el sistema?

02 Marzo, 2021, 10:26 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos, tengo un par de dudas, a ver si pueden ayudarme.
Viendo el siguiente resultado me surgieron dos preguntas.
Sean \( \phi \) y \( \gamma \) dos soluciones del sistema \( x^{\prime}=A(t)x \), \( x \in \mathbb{R}^n \). Si \( a,b \in \mathbb{R} \), entonces \( a\phi + b\gamma \) tambien  es solución.

Mis preguntas son:
1. ¿Cuando se dice que Sean \( \phi \) y \( \gamma \) dos soluciones del sistema \( x^{\prime}=A(t)x \), estamos hablando que satisfacen el sistema para cualquier condición inicial?

Se refiere a soluciones sin fijar ninguna condición inicial. Una solución de \( x'=A(t)x \) es una función \( f(t) \) que cumple, \( f'(t)=A(t)f(t) \) para todo \( t\in \Bbb R \).


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2. ¿Como pueden haber 2 soluciones? Por ejemplo si tomo el sistema con \( A(t) = a \in \mathbb{R} \), las soluciones al sistema \( x^{\prime}=A(t)x \), son de la forma (sino estoy errado) \( x(s)e^{a(t-s)}, s, t \in \mathbb{R} \). ¿Que otra solución puede haber para el sistema?

Eso no es UNA solución, sino una familia de soluciones.

Saludos.

02 Marzo, 2021, 10:32 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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1. ¿Cuando se dice que Sean \( \phi \) y \( \gamma \) dos soluciones del sistema \( x^{\prime}=A(t)x \), estamos hablando que satisfacen el sistema para cualquier condición inicial?

Una solución \( \phi \) del sistema \( x^{\prime}=A(t)x \) es sencillamente una función que satisface \( \phi^{\prime}=A(t)\phi (t) \) para todo \( t\in I \) siendo \( I \) intervalo de la recta real. Para un \( t_0 \) in \( I \) se verificará \( \phi(t_0)=C\in \mathbb{R}^n \). Es irrelevante quien es \( C \) pues no se pone condición previa.

2. ¿Como pueden haber 2 soluciones? Por ejemplo si tomo el sistema con \( A(t) = a \in \mathbb{R} \), las soluciones al sistema \( x^{\prime}=A(t)x \), son de la forma (sino estoy errado) \( x(s)e^{a(t-s)}, s, t \in \mathbb{R} \). ¿Que otra solución puede haber para el sistema?

Todas las soluciones de \( x^\prime=Ax \) son  \( x(t)=e^{tA}C \) con \( C\in \mathbb{R}^n \) si no impones ninguna condición y si impones la condición \( x(t_0)=X_0 \), la única solución es  \( x(t)=e^{(t-t_0)A}X_0 \).

P.D. Se adelantó Luis. Dejo el mensaje por si también pudiera ser útil.

03 Marzo, 2021, 12:52 am
Respuesta #3

S.S

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Hola, gracias por la respuestas, ambas me sirven, me estaba enrolando con esos conceptos, apenas me estoy acostumbrando al lenguaje de ecuaciones diferenciales.
Eso no es UNA solución, sino una familia de soluciones.
Gracias por la observación.