Hola,
Recientemente empecé a estudiar fracciones continuas y encontré este ejercicio en la sección de ejercicios:
Sea \( d\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( 1 \) y \( 10 \) son primos relativos. Probar que la expansión decimal de \( \displaystyle\frac{1}{d} \) tiene un periodo igual al orden de \( 10 \) módulo \( d \).
Mi pregunta es: ¿cómo se aborda exactamente el problema desde el punto de vista de las fracciones continuas?
Porque sin hacer uso de eso, lo que hice fue lo siguiente:
Si \( r \) es el orden de \( 10 \) módulo \( d \). Entonces \( r \) es el entero positivo más pequeño que satisface \( 10^{r} \equiv{1}\textrm{ mod d} \) y por definición de congruencia existe un \( q \) entero tal que
\( 10^{r}-1=qd \)
\( \displaystyle\frac{10^r}{d}=\displaystyle\frac{1}{d}+q \)
Ahora bien, sea \( p \) el periodo de \( \displaystyle\frac{1}{d} \), entonces \( \displaystyle\frac{1}{d}=0.\overline{a_{1}...a_{p}} \), de acuerdo con la ecuación anterior se tiene entonces que
\( a_{1}\ldots a_{r}.a_{r+1}a_{r+2}...=q.\overline{a_{1}...a_{p}} \)
De donde, dado que \( r \) es el más pequeño que satisface esto, tenemos que \( r=p \).
Pero como ven, no usé nada de fracciones continuas. Y ahora que lo pienso tampoco usé el hecho de que \( 10 \) y \( d \) son primos relativos, pero supongo que esa hipótesis sirve para que el periodo esté "bien" definido no? Ya que por ejemplo \( 1/12=0.8\overline{3} \) y ahí no podemos decir que el periodo sea \( 2 \).
Saludos.
