Autor Tema: Potencia número complejo

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24 Febrero, 2021, 07:47 pm
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yuzo

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Buenas a todos,
estoy atascado con el siguiente ejercicio:

\( (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i)^{2020} \)

(indicación: escribe \( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \) en forma polar y observa que 2016 es múltiplo de 8)

Módulo = \( \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}})^{2} \) = 1

Argumento = \( \arctan{\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \) = \( \arctan{(-1)} \) = -45 = 315

Con esto tengo el numero complejo en forma polar \( 1_{315} \) y puedo utilizar:

\( (r_{\theta})^{n} = r^{n}_{n\theta}  \)

Pero claro, n = 2020 es una potencia muy alta, me da valores muy grandes y no puedo usar calculadora. La indicación no sé para que usarla directamente.

Con la calculadora y usando la fórmula de De Moivre \( z^{n} = r^{n}(\cos{n\theta} + i\sin{n\theta}) \) consigo llegar a que la solución es -1 que creo que es correcta, pero claro, debería poder hacerlo sin calculadora. ¿Algún consejo para simplificar o trabajar con ese valor tan grande?

Gracias ;)

24 Febrero, 2021, 08:18 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Observa que de las indicaciones deducimos que \( 2020=8k+4 \) para algún natural \( k \) a determinar. Ahora observa que en radianes te queda \( -\frac{\pi}{\color{red}{4}}(8k+4)=-\pi {\color{red}{2k-\pi}} \).

Perdón, había grosso error en la redacción original de mi respuesta. No necesitas ni calcular \( k \), observa que \( e^{-2\pi k i}=1 \) para cualquier entero \( k \), de ahí te queda que el resultado es menos uno.

Corregido.

24 Febrero, 2021, 08:26 pm
Respuesta #2

delmar

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Hola

Es mejor utilizar radianes en lugar de grados, en este caso se tiene : \( 1_{7\pi/4}=e^{i7\pi/4} \) al elevarlo a la potencia dada se puede poner como \( (e^{i7\pi /4})^{2016+4}=e^{i(7\pi/4) \ 2016}\ e^{i(7\pi/4 )\ 4}=e^{i3528 \pi} \ e^{i 7 \pi}=(e^{i2 \pi})^{1764} \ e^{i 6 \pi} \ e^{i  \pi} \)

Pero \( e^{i2\pi}=e^{i6\pi}=1 \) entonces sacas tus conclusiones


Saludos

Se adelanto Masacroso pero ahí va una forma

24 Febrero, 2021, 09:29 pm
Respuesta #3

yuzo

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Observa que de las indicaciones deducimos que \( 2020=8k+4 \) para algún natural \( k \) a determinar. Ahora observa que en radianes te queda \( -\frac{\pi}{\color{red}{4}}(8k+4)=-\pi {\color{red}{2k-\pi}} \).

Perdón, había grosso error en la redacción original de mi respuesta. No necesitas ni calcular \( k \), observa que \( e^{-2\pi k i}=1 \) para cualquier entero \( k \), de ahí te queda que el resultado es menos uno.

Corregido.

Hola

Es mejor utilizar radianes en lugar de grados, en este caso se tiene : \( 1_{7\pi/4}=e^{i7\pi/4} \) al elevarlo a la potencia dada se puede poner como \( (e^{i7\pi /4})^{2016+4}=e^{i(7\pi/4) \ 2016}\ e^{i(7\pi/4 )\ 4}=e^{i3528 \pi} \ e^{i 7 \pi}=(e^{i2 \pi})^{1764} \ e^{i 6 \pi} \ e^{i  \pi} \)

Pero \( e^{i2\pi}=e^{i6\pi}=1 \) entonces sacas tus conclusiones


Saludos

Se adelanto Masacroso pero ahí va una forma

Muchas gracias a ambos, de esta forma se ve mucho mejor, hasta ahora habíamos hecho ejercicios del tipo \( (\sqrt{3}-i)^{6} \) o \( (2-i)^{5} \) utilizando la fórmula de De Moivre pero claro, cuando he visto que aplicando la fórmula me tocaba hacer algo como \( (\cos{(2020*315)}+isen{(2020*315)}) \) pues no sabía por dónde cogerlo.

25 Febrero, 2021, 01:07 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Como curiosidad, para hallar potencias de la forma \( (a-ai)^n \) o \( (a+ai)^n \) se puede proceder sin usar la forma trigonométrica como en el ejemplo:

Si \( n \) par, \( (a-ai)^{n}=a^{n}(1-i)^{n}=a^{n}[(1-i)^2]^{n/2}=a^n(-2i)^{n/2}=(-2)^{n/2}a^ni^{n/2}. \)

Parecido método para \( n \) impar.